[Risolto] Esercizio matematica 4 superiore

Per "capire bene lo svolgimento e la spiegazione di questo esercizio" si dev'essere in grado di spiegare a un'altra persona IL PROBLEMA (e la categoria di problemi) di cui quest'esercizio è un'istanza.
La categoria è "Dall'equazione di una conica alle sue proprietà geometriche." e, nello specifico, tre problemi relativi all'equazione di una parabola Γ da cui ricavare
a) vertice e intersezioni con gli assi
b) tangenti condotte da un punto dato
c) indicazioni su come tracciare la curva e le sue tangenti
tutte informazioni che si traggono da opportune forme equivalenti dell'equazione data
* Γ ≡ y = (3/2)*x^2 - x + 3/4
dalla quale, per x = 0, si ha il punto d'intercetta Y(0, 3/4).
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Dividendola membro a membro per il coefficiente direttore del trinomio e fattorizzando si ha
* Γ ≡ (2/3)*y = x^2 - (2/3)*x + 1/2 = (x - (2 - i*√14)/6)*(x - (2 + i*√14)/6)
che, per y = 0, dimostra l'inesistenza di intersezioni reali con l'asse x.
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Per determinare il vertice V si ricorre al completamento di quadrato sui termini variabili del trinomio monico ottenuto ponendo in evidenza il coefficiente direttore
* Γ ≡ y = (3/2)*(x^2 - (2/3)*x + 1/2)
* x^2 - (2/3)*x = (x - 1/3)^2 - (1/3)^2
* Γ ≡ y = (3/2)*((x - 1/3)^2 - (1/3)^2 + 1/2) = (3/2)*((x - 1/3)^2 + 7/18) ≡
≡ y = (3/2)*(x - 1/3)^2 + 7/12
da cui
* V(1/3, 7/12)
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Per determinare le tangenti condotte dal punto P(u, v), il polo, alla cònica Γ si usa l'equazione di Γ in forma normale canonica
* Γ ≡ (3/2)*x^2 - x - y + 3/4 = 0
da cui, lasciàndone inalterati i coefficienti e operando le sostituzioni (formule di sdoppiamento):
* x^2 → u*x
* y^2 → v*y
* x*y → (v*x + u*y)/2
* x → (u + x)/2
* y → (v + y)/2
si trova la retta polare p(Γ, P) di P(u, v) rispetto a Γ
* p(Γ, P) ≡ (3/2)*u*x - (u + x)/2 - (v + y)/2 + 3/4 = 0 ≡
≡ y = (3*u - 1)*x - (u + v) + 3/2
Se il punto P è interno alla cònica Γ, p(Γ, P) non interessa il problema delle tangenti.
Se il punto P è sulla cònica Γ, p(Γ, P) è la tangente in P.
Se il punto P è esterno alla cònica Γ, p(Γ, P) interseca Γ nei punti di tangenza delle tangenti condotte da P.
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Se P dev'essere "il punto d'intersezione con l'asse delle ordinate" Y(0, 3/4) che per costruzione è su Γ, allora la polare di Y è l'unica tangente t in Y
* y = (3*u - 1)*x - (u + v) + 3/2 = (3*0 - 1)*x - (0 + 3/4) + 3/2 ≡
≡ t ≡ y = 3/4 - x
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Per tracciare il grafico di una curva si usano le sue proprietà geometriche.
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Per la retta, il fatto che bastano due punti per determinarla, quindi
* t ≡ y = 3/4 - x
si traccia congiungendo le sue untersezioni con gli assi: Y(0, 3/4), X(3/4, 0).
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Per la parabola
* Γ ≡ y = (3/2)*(x - 1/3)^2 + 7/12
si sfruttano le seguenti considerazioni.
* ha apertura a = 3/2 > 0 quindi ha concavità rivolta verso y > 0
* ha vertice V(1/3, 7/12)
* ha asse x = 1/3 parallelo all'asse y
quindi il tracciamento per punti si fa disegnando anzitutto come riferimento l'asse x = 1/3 e la tangente di vertice y = 7/12 e poi coppie di punti simmetrici rispetto all'asse su rette a distanza k dal vertice.
Il sistema
* (y = 7/12 + k) & (y = (3/2)*(x - 1/3)^2 + 7/12) & (k > 0)
determina le intersezioni
* X1((1 - √(6*k))/3, 7/12 + k), X2((1 + √(6*k))/3, 7/12 + k)
Nel formato
* [{k, y, X1, X2}
le prime coppie hanno i valori approssimati
{1, 1.58, - 0.48, 1.15}
{2, 2.58, - 0.82, 1.49}
{3, 3.58, - 1.08, 1.75}
{4, 4.58, - 1.30, 1.97}
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QUI FINISCE LA SPIEGAZIONE PER CAPIRE BENE LO SVOLGIMENTO.
Se ancora non hai capito bene devi ristudiare con più riflessione il capitolo del caso.
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SVOLGIMENTO DA CONSEGNARE (versione breve)
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Dall'equazione data e dalle sue forme equivalenti
* Γ ≡ y = (3/2)*x^2 - x + 3/4 ≡
≡ y = (3/2)*(x^2 - (2/3)*x + 1/2) ≡
≡ y = (3/2)*(x - 1/3)^2 + 7/12 ≡
≡ (3/2)*x^2 - x - y + 3/4 = 0
si determinano
* l'intersezione Y(0, 3/4) con l'asse y
* il vertice V(1/3, 7/12)
* l'assenza d'intersezioni reali con l'asse x perché
** x^2 - (2/3)*x + 1/2 ha discriminante Δ = (2/3)^2 − 4*1/2 = - 14/9 < 0
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Essendo Y(0, 3/4) su Γ la tangente t in Y si determina dalla forma canonica
* Γ ≡ (3/2)*x^2 - x - y + 3/4 = 0
per sdoppiamento, ottenendo
* t ≡ (3/2)*0*x - (0 + x)/2 - (3/4 + y)/2 + 3/4 = 0 ≡ y = 3/4 - x
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Vedi i grafici al link
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%5By%3D3%2F4-x%2Cy%3D%283%2F2%29*x%5E2-x%2B3%2F4%5D
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SVOLGIMENTO DA CONSEGNARE (luuungo! ma seguendo lo schema dei punteggi)
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Coordinate del vertice
* Γ ≡ y = (3/2)*x^2 - x + 3/4 =
= (3/2)*(x^2 - (2/3)*x + 1/2) =
= (3/2)*((x - 1/3)^2 - (1/3)^2 + 1/2) ≡
≡ y = (3/2)*(x - 1/3)^2 + 7/12
da cui
* V(1/3, 7/12)
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Intersezioni con gli assi
* (x = 0) & (y = (3/2)*x^2 - x + 3/4) ≡ A(0, 3/4)
* (y = 0) & (y = (3/2)*x^2 - x + 3/4) ≡ impossibile nei reali perché
** (3/2)*x^2 - x + 3/4 = 0 ha discriminante Δ = - 7/2 negativo.
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Fascio per A
Per il punto A(0, 3/4) passano, oltre all'asse y, tutte e sole le rette
* r(m) ≡ y = 3/4 - m*x
per ogni pendenza m reale.
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Equazione risolvente + Parametrica Δ = 0 + Valore di m + Equazione retta tangente
Il sistema
* r(m) & Γ ≡ (y = 3/4 - m*x) & (y = (3/2)*x^2 - x + 3/4)
ha risolvente
* 3/4 - m*x = (3/2)*x^2 - x + 3/4 ≡
≡ (3/2)*x^2 - x + 3/4 - (3/4 - m*x) = 0 ≡
≡ (x + (2/3)*(m - 1))*x = 0
con discriminante
* Δ(m) = (2*m - 2)^2/9
che, per la tangenza, dev'essere zero: ciò si ha per m = 1, da cui
* t ≡ r(1) ≡ y = 3/4 - x
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Grafici
Vedi al link
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%5By%3D3%2F4-x%2Cy%3D%283%2F2%29*x%5E2-x%2B3%2F4%5D

@laila_karim

Ciao e benvenuta. Un invito a leggere per bene il:

https://www.sosmatematica.it/regolamento/

possibilmente scrivere l'esercizio da te svolto in modo che tu possa manifestare i tuoi problemi e noi eventualmente di poterli correggere. (non è che per caso stai facendo una verifica di recupero?).

Ti risponderò se ho tempo e voglia più tardi.

Ho visto qualche impegno da parte tua. Ti aiuto.

y = 3/2·x^2 - x + 3/4

a=3/2>0 concavità verso l'alto

b=-1

Asse della parabola : x=-b/(2a)------> x=1/3 OK!

Calcolo delle coordinate di Q:

{y = 3/2·x^2 - x + 3/4

{x = 0

Quindi Q(0,3/4)  -----> c=3/4 è il termine noto.

Quindi hai cencischiato con i sistemi per trovare le intersezioni!

Hai calcolato giustamente la posizione del vertice V(1/3,7/12).

Questo risultato ti doveva mettere sull'avviso che la parabola in questione non potesse avere intersezioni con l'asse delle x. Infatti Yv potevi anche calcolarlo come:

Δ = 1 - 4·(3/2)·(3/4)------> Δ = - 7/2 >0 niente intersezioni!

Yv=-Δ/(4a)=7/2/(6)=7/12

Quindi hai visto il tipo di errori fatti!

La tangente alla parabola in Q è unica. Si può trovare facilmente con le formule di sdoppiamento.

(y + 3/4)/2 = 3/2·0·x - (x + 0)/2 + 3/4

(4·y + 3)/8 = 3/4 - x/2

y = 3/4 - x

In alternativa alle formule di sdoppiamento, puoi utilizzare il metodo classico: metti a sistema

{la parabola data

{fascio di rette per Q

Lo risolvi con il metodo della sostituzione. Ottieni un'equazione di 2° grado, parametrica in m. Imponi la condizione di tangenza ed ottieni la retta tangente.

{y = 3/2·x^2 - x + 3/4

{y - 3/4 = m·(x - 0)

quindi: y = m·x + 3/4 poi

m·x + 3/4 = 3/2·x^2 - x + 3/4

4·m·x + 3 = 6·x^2 - 4·x + 3

6·x^2 - 4·x + 3 - (4·m·x + 3) = 0

6·x^2 - x·(4·m + 4) = 0

Δ = 0 -------->   b^2 = 0 

(4·m + 4)^2 = 0--------> m = -1------> y=-x+3/4