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[Risolto] Esercitazione su parabole

  

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Determina le equazioni delle parabole y = ax^2 + bx + c, aventi per vertice un punto di ordinata - 9 e di ascissa la soluzione minore dell'equazione t^4 - 11 t^3 + 25 t^2 - 11 t + 24 = 0 e che individuano sulla retta x - y - 10 = 0 un segmento AB di misura 3 rad 2. Calcola l'area del triangolo ABC, dove C è l'intersezione di ascissa positiva della parabola, avente la concavità verso l'alto, con l'asse delle x.

Risposte : y = -1/9 x^2 + 2/3 x - 10 ; y = x^2 - 6x ; area = 6

Ho risolto l'equazione che tramite la Regola di Ruffini viene così scomposta : (t-3)(t-8)(t^2 + 1) = 0 le cui radici sono 2, 8 e impossibile. Quindi l'ascissa del vertice dovrebbe essere 3. Poi ho cercato di mettere a sistema l'equazione della parabola con riferimento alle coordinate del vertice con quella della retta, calcolando la distanza fra i punti trovati e ponendola uguale a 3 rad 2, ma non ho abbastanza elementi e quindi mi sono fermato. Grazie come sempre a tutti coloro che vorranno darmi un aiuto. 

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Ciao.

Ma ti vuoi specializzare nelle coniche? Intanto il disegno:

image

t^4 - 11·t^3 + 25·t^2 - 11·t + 24 = 0 hai scomposto:

(t - 3)·(t - 8)·(t^2 + 1) = 0-------> t = -i ∨ t = i ∨ t = 8 ∨ t = 3

quindi giustamente x=3 (ascissa del vertice)

y = a·x^2 + b·x + c il vertice comune alle due parabole ha coordinate: [3, -9]

essendo parabole ad asse verticale: [- b/(2·a), - Δ/(4·a)] deve essere verificato il sistema:

{- b/(2·a) = 3

{- Δ/(4·a) = -9

quindi: b = - 6·a

che sostituiamo in: - (b^2 - 4·a·c)/(4·a) = -9

- ((- 6·a)^2 - 4·a·c)/(4·a) = -9-----> c - 9·a = -9-----> c = 9·(a - 1)

A questo punto sistema:

{y = a·x^2 - 6·a·x + 9·(a - 1)

{x - y - 10 = 0

quindi: x - 10 = a·x^2 - 6·a·x + 9·(a - 1)-----> a·x^2 - x·(6·a + 1) + 9·a + 1 = 0

La risolvi ed ottieni:

x = - (√(8·a + 1) - 6·a - 1)/(2·a) ∨ x = (√(8·a + 1) + 6·a + 1)/(2·a)

fai la differenza: Δx = (√(8·a + 1) + 6·a + 1)/(2·a) + (√(8·a + 1) - 6·a - 1)/(2·a)

Δx = √(8·a + 1)/a analogamente:

y = - (√(8·a + 1) - 6·a - 1)/(2·a) - 10-----> y = - (√(8·a + 1) + 14·a - 1)/(2·a)

y = (√(8·a + 1) + 6·a + 1)/(2·a) - 10-----> y = (√(8·a + 1) - 14·a + 1)/(2·a)

Δy = (√(8·a + 1) - 14·a + 1)/(2·a) + (√(8·a + 1) + 14·a - 1)/(2·a)

Δy = √(8·a + 1)/a

Quindi imponi:

√((√(8·a + 1)/a)^2 + (√(8·a + 1)/a)^2) = 3·√2

√((8·a + 1)/a^2 + (8·a + 1)/a^2) = 3·√2

elevi al quadrato: 2·(8·a + 1)/a^2 = 18

risolvi ed ottieni: a = - 1/9 ∨ a = 1

parabole:

y = - 1/9·x^2 + 2/3·x - 10   e    y = x^2 - 6·x

La parabola con la concavità verso l'alto è la seconda, da cui si riconosce che C(6,0)

Per i punti A e B consideriamo la stessa parabola che poniamo a sistema con la retta data all'inizio:

{y = x - 10

{y = x^2 - 6·x

lo risolviamo ed otteniamo: [x = 2 ∧ y = -8, x = 5 ∧ y = -5]. Mettiamo quindi i punti incolonnati:

[5, -5]

[2, -8]

[6, 0]

[5, -5]

e procediamo al calcolo dell'area:

Α = 1/2·ABS(5·(-8) + 2·0 + 6·(-5) - (5·0 + (+6)·(-8) + 2·(-5)))

Α = 6

 

 

@lucianop 

Ciao sì voglio diventare un altro Einstein... bando agli scherzi, grazie innanzitutto per la tua risposta che, come sempre, è stata celere e comprensibile. Vorrei solo, per cortesia, una spiegazione: perché hai fatto la differenza dei due discriminati dopo aver trovato le radici di x e y nel sistema y = ax^2 - 6ax + 9(a-1) e x-y- 10 = 0 ? Ti ringrazio anticipatamente per la risposta. Buona serata a te e famiglia.

@beppe

Buona sera. Con il simbolo Delta si vuole indicare anche differenza che serve poi a valutare, in base al teorema di Pitagora, la distanza dei punti A e B (formula della distanza fra 2 punti del piano cartesiano.

@lucianop 

Ok grazie sì è un simbolo molto usato in fisica... ora tutto chiaro al 100%. Ancora grazie

@lucianop 👍👍👍



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A) ... AVENTI PER VERTICE ...
Ogni parabola Γ con
* asse parallelo all'asse y
* apertura a != 0
* vertice V(w, h)
ha equazione
* Γ(a, w, h) ≡ y = h + a*(x - w)^2
che, per h = - 9, diventa
* Γ(a, w) ≡ y = - 9 + a*(x - w)^2
mentre w è la minima radice reale di
* t^4 - 11*t^3 + 25*t^2 - 11*t + 24 = 0 ≡
≡ t^4 - 11*t^3 + 24*t^2 + t^2 - 11*t + 24 = 0 ≡
≡ (t^2 + 1)*(t^2 - 11*t + 24) = 0 ≡
≡ (t - i)*(t + i)*(t - 3)*(t - 8) = 0
da cui
* w = 3
* Γ(a) ≡ y = - 9 + a*(x - 3)^2
------------------------------
B) ... sulla retta secante
* s ≡ x - y - 10 = 0 ≡ y = x - 10
un segmento AB di misura
* L = |AB| = 3*√2 ...
---------------
* s & Γ(a) ≡ (y = x - 10) & (y = - 9 + a*(x - 3)^2) & (a != 0) ≡
≡ A((6*a + 1 - √(8*a + 1))/(2*a), (1 - 14*a - √(8*a + 1))/(2*a))
oppure
≡ B((6*a + 1 + √(8*a + 1))/(2*a), (1 - 14*a + √(8*a + 1))/(2*a))
* L = |AB| = √((16*a + 2)/a^2) = 3*√2 ≡
≡ (a = - 1/9) oppure (a = 1)
da cui
* Γ(- 1/9) ≡ y = - 9 + (- 1/9)*(x - 3)^2 ≡ y = - (x^2 - 6*x + 90)/9
* A(0, - 10)
* B(- 3, - 13)
oppure
* Γ(1) ≡ y = - 9 + 1*(x - 3)^2 ≡ y = x^2 - 6*x
* A(2, - 8)
* B(5, - 5)
------------------------------
C) CONSEGNA EQUIVOCA
"Calcola l'area del triangolo ABC, dove C è l'intersezione di ascissa positiva della parabola, avente la concavità verso l'alto, con l'asse delle x."
---------------
C1) "la parabola, avente la concavità verso l'alto" ≡
≡ "la parabola di apertura positiva" ≡
≡ Γ(1) ≡ y = x^2 - 6*x = (x - 6)*x
---------------
C2) "C è l'intersezione di ascissa positiva ... con l'asse delle x." ≡
≡ "C è lo zero di Γ(1) con ascissa positiva" ≡
≡ C(6, 0)
---------------
C3) "Calcola l'area del triangolo ABC"
MA VOGLIAMO PAZZIARE? O GIA' STIAMO PAZZIANDO?
Ci sono quattro punti che, a coppie, si chiamano A e B.
Con l'unico punto C ci si fanno quattro triangoli!
C3a) (6, 0)(0, - 10)(- 3, - 13): area = 6
C3b) (6, 0)(0, - 10)(5, - 5): area = 10
C3c) (6, 0)(2, - 8)(- 3, - 13): area = 10
C3d) (6, 0)(2, - 8)(5, - 5): area = 6

 

@exprof 👍👍



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@Beppe

Essendo la corda intercettata su una retta parallela alla bisettrice del primo terzo quadrante, avente quindi coefficiente angolare 1, sappiamo che:

DX = DY

 

Dovendo essere la corda lunga 3*radice (2) ed essendo DX=DY , la corda è l'ipotenusa di un triangolo rettangolo isoscele avente per cateti DX=DY=3

Quindi :

DX = DY = (radice (8a+1)/a) = 3

 

Elevando a quadrato i due membri, si ottiene:

(8a+1)/a² = 9

9a² - 8a - 1 = 0

( a - 1)(a + 1/9) = 0   ==> a=1, a = - 1/9

 

Possiamo quindi scrivere le due parabole.....

Ciao Beppe. 

Buona giornata 

 

 

 

@stefanopescetto 

Grazie per la tua risposta sempre chiara e utile a farmi comprendere il problema. Buona giornata anche a te



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