[Risolto] Esercitazione su fascio circonferenze

 

Postato da: @beppe

a) Considera il fascio di circonferenze di equazione x^2 + y^2 + (k-10) x + (k-4) y + 4(6-k) = 0 e individua le coordinate dei punti base A e B (xA minore di XB)

I punti base sono i punti per cui passano tutte le circonferenze del fascio. Dato che ci serve anche nel punto b), determiniamo quali sono le generatrici del fascio "separando" i termini con e senza parametro:

$x^2 + y^2 + (k-10) x + (k-4) y + 4(6-k) = 0$

$x^2+y^2+kx- 10x +ky -4y +24 -4k = 0$

$x^2+y^2-10x-4y+24 + k(x+y-4)=0$

 

Dunque le generatrici sono la circonferenza $x^2+y^2-10x-4y+24=0$ e la retta $x+y-4=0$.

Mettendo a sistema le generatrici otteniamo i punti base:

{$x^2+y^2-10x-4y+24=0$ 

{$y=4-x$

Sostituendo la y nella circonferenza:

{$x^2+16-8x+x^2-10x-16+4x+24=0$

{$y=4-x$

 

Risolvo la prima separatamente:

$2x^2-14x+24=0$

$x=3 o x=4$

 

Dunque i punti saranno

{$x=3$

{$y=4-3=1$

e

{$x=4$

{$y=4-4=0$

Postato da: @beppe

b) Dopo aver verificato che il fascio considerato è generato da una circonferenza Y e da una retta r, determina l'equazione della circonferenza Y1, simmetrica della circonferenza Y rispetto a r

Abbiamo già visto che la circonferenza generatrice è Y: $x^2+y^2-10x-4y+24=0$ e la retta r: $y=4-x$.

La circonferenza ha centro C(5,2) e raggio

$R=\sqrt{a^2/4 + b^2/4 -c}= \sqrt{25+4-24}=\sqrt{5}$.

 

Facciamo il simmetrico del centro C rispetto alla retta. Per farlo consideriamo la retta passante per C e perpendicolare ad r. Essendo perpendicolare, il coefficiente della retta sarà m'=1, antireciproco rispetto al coefficiente m=-1 della retta r. Quindi usando la formula:

$y-y_C = m' (x-x_C)$

abbiamo

$y-2 = 1(x-5)$

da cui

$y=x-3$

Troviamo il centro di simmetria facendo intersecare l'asse di simmetria r con la retta appena trovata:

{$y=x-3$

{$y=4-x$

per confronto:

$x-3= 4-x$ -> $2x=7$  -> $x=7/2$

quindi 

{$x=7/2$

{$y=4-7/2 = 1/2$

Possiamo ora fare il simmetrico del centro C rispetto al centro di simmetria CS(7/2, 1/2) usando le formule della simmetria centrale:

{$x'=2x_{CS} - x_C = 2(7/2) - 5 = 2$

{$y'=2y_{CS} - y_C = 2(1/2) - 2 = -1$ 

La nuova circonferenza C' avrà dunque centro C'(2,-1) e raggio $R=\sqrt{5}$ cioé:

{$-a/2 = 2$

{$-b/2 = -1$

{$a^2/4 + b^2/4 -c = 5$

da cui

{$a=-4$

{$b=2$

{$4+1-c = 5$ -> $c=0$

dunque Y': $x^2+y^2-4x+2y=0$

Postato da: @beppe

c) Scrivi le equazioni delle tangenti s e t a Y1 mandate dal punto P di coordinate (-3; 4)

Il fascio di rette passante per P ha equazione:

$y-4 = m(x+3)$ -> $y=mx+3m+4$

Mettiamo il fascio a sistema con la circonferenza Y' per determinare le intersezioni in funzione di m:

{$x^2 + y^2 -4x +2y = 0$

{$y = mx +3m +4 $

 

Sostituendo la y nella circonferenza otteniamo:

$x^2 + (mx +3m +4 )^2-4x +2(mx +3m +4 ) = 0$

$x^2 + m^2x^2 + 9m^2 + 16 + 6m^2x + 8mx + 24m + 2mx +6m + 8 =0$

Riordinando:

$x^2(1+m^2)+ x(6m^2+10m-4) + (9m^2+30m+24)=0$

 

Dovendo avere una tangente poniamo il delta pari a zero:

$(6m^2+10m-4)^2-4(1+m^2)(9m^2+30m+24)=0$

Facendo tutti i calcoli otteniamo:

$-80m^2-200m-80 = 0$

E risolvendo abbiamo che i coefficienti delle due tangenti sono:

$m=-2$ o $m=-1/2$

 

Poiché le rette del fascio avevano equazione

$y=mx+3m+4$

Sostituendo i coefficienti trovati abbiamo che le tangenti sono:

$y=-2x-6+4$ -> $y=-2x-2$ -> $2x+y+2=0$

e 

$y=-1/2x -3/2+4$ -> $2y=-x-3+8$ -> $2y+x-5=0$

Postato da: @beppe

d) Calcola l'area del triangolo individuato dalle rette s, t e dalla retta congiungente i punti di tangenza.

Troviamo i punti di tangenza mettendo a sistema le rette e la circonferenza Y'. Ometto per brevità i calcoli. I risultati sono

A=(0,-2) e B=(3,1)

 

Dato che dai teoremi di geometria sappiamo che i segmenti di tangenza sono congruenti, abbiamo che il triangolo ABP è isoscele.

La base AB misura:

$AB=\sqrt{(0-3)^2+(-2-1)^2}=\sqrt{9+9}=\sqrt{18}$

Il lato AP (congruente a BP) misura:

$AP=\sqrt{(0+3)^2+(-2-4)^2}=\sqrt{9+36}=\sqrt{45}$

Per Pitagora l'altezza del triangolo è dunque:

$h=\sqrt{AP^2-(AB/2)^2} = \sqrt{45-9/2} = \sqrt{81/2} = 9 \frac{\sqrt{2}}{2}$

Allora l'area sarà:

$A= \frac{\sqrt{18} 9/2 \sqrt{2}}{2} = 27/2$

 

Ti allego il disegno per chiarezza

.

 

Noemi

 

 

Ciao @beppe

Intanto ti invio il disegno. Più tardi, se ho tempo e voglia, ma soprattutto se mi ricordo , ti invio anche la risoluzione analitica.

a) Considera il fascio di circonferenze di equazione x^2 + y^2 + (k-10) x + (k-4) y + 4(6-k) = 0 e individua le coordinate dei punti base A e B (xA minore di XB)

--------------------------

x^2 + y^2 + (k - 10)·x + (k - 4)·y + 4·(6 - k) = 0

riscrivo:

k·(x + y - 4) + (x^2 + y^2 - 10·x - 4·y + 24) = 0

Individuo i punti base:

{x + y - 4 = 0

{x^2 + y^2 - 10·x - 4·y + 24 = 0

risolvo il sistema: y = 4 - x

x^2 + (4 - x)^2 - 10·x - 4·(4 - x) + 24 = 0

x^2 + (x^2 - 8·x + 16) - 10·x - (16 - 4·x) + 24 = 0

2·x^2 - 14·x + 24 = 0-----> 2·(x - 3)·(x - 4) = 0-----> x = 4 ∨ x = 3

da cui:

y = 4 - 4------> y = 0  quindi B(4,0)

y = 4 - 3-------> y = 1 quindi A(3,1)

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b) Dopo aver verificato che il fascio considerato è generato da una circonferenza Y e da una retta r, determina l'equazione della circonferenza Y1, simmetrica della circonferenza Y rispetto a r

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x^2 + y^2 - 10·x - 4·y + 24 = 0 è la circonferenza γ

y = 4 - x è la retta r che generano il fascio

Determiniamo la simmetrica di γ rispetto alla retta r

Dalla circonferenza riconosciamo il suo centro: C(5, 2) ed il suo raggio:

r = √(5^2 + 2^2 - 24)------> r = √5

quindi tale circonferenza la possiamo anche scrivere come:

(x - 5)^2 + (y - 2)^2 = 5

A questo punto imponiamo che:

√((x - 3)^2 + (y - 1)^2) = √((x - 4)^2 + (y - 0)^2) = √5

cioè che l'equidistanza fra i punti base valga come il raggio. Determiniamo l'asse del segmento AB:

x^2 - 6·x + y^2 - 2·y + 10 = x^2 - 8·x + y^2 + 16

y = x - 3

Quindi su [x, x - 3] deve stare il centro della circonferenza

√((x - 3)^2 + (y - 1)^2) = √5

√((x - 3)^2 + ((x - 3) - 1)^2) = √5

(x^2 - 6·x + 9) + (x^2 - 8·x + 16) = 5

2·x^2 - 14·x + 20 = 0-----> 2·(x - 2)·(x - 5) = 0---> x = 5 ∨ x = 2

[5, 5 - 3]------> [5, 2] centro della 1^ circonferenza

[2, 2 - 3]----> [2, -1] centro della circonferenza simmetrica

Quindi l'equazione cercata:

(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 5-------> x^2 + y^2 - 4·x + 2·y = 0

(passa per l'origine O)

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c) Scrivi le equazioni delle tangenti s e t a Y1 mandate dal punto P di coordinate (-3; 4)

Determiniamo la polare, cioè la retta che passa per i due punti di tangenza ( le rette s e t le puoi calcolare dopo da solo :ognuna di esse è passante per i due punti!)

Adoperiamo le formule di sdoppiamento:

- 3·x + 4·y - 4·(x - 3)/2 + 2·(y + 4)/2 = 0

- 5·x + 5·y + 10 = 0------> y = x - 2

che mettiamo a sistema con la seconda circonferenza

{x^2 + y^2 - 4·x + 2·y = 0

{y = x - 2

quindi per sostituzione: 

x^2 + (x - 2)^2 - 4·x + 2·(x - 2) = 0---->2·x^2 - 6·x = 0

quindi i due punti di tangenza:  x = 3 ∨ x = 0

y = 3 - 2----> y = 1    ----> [3, 1]

y = 0 - 2---> y = -2----> [0, -2]

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d) Calcola l'area del triangolo individuato dalle rette s, t e dalla retta congiungente i punti di tangenza.

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[0, -2]

[-3, 4]

[3, 1]

[0, -2]

Α = 1/2·ABS(0·4 - 3·1 + 3·(-2) - (0·1 + 3·4 - 3·(-2)))

Α = 27/2

 

 

 

TESTO ORRIBILE E MAL FORMULATO: rispondo per quanto posso (poco!).
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A) Si può dire che il fascio di coniche
* Γ(k) ≡ x^2 + y^2 + (k - 10)*x + (k - 4)*y + 4*(6 - k) = 0 ≡
≡ x^2 + (k - 10)*x + y^2 + (k - 4)*y + 4*(6 - k) = 0 ≡
≡ (x + (k - 10)/2)^2 - ((k - 10)/2)^2 + (y + (k - 4)/2)^2 - ((k - 4)/2)^2 + 4*(6 - k) = 0 ≡
≡ (x + (k - 10)/2)^2 + (y + (k - 4)/2)^2 = (k^2 - 6*k + 10)/2
sia di circonferenze solo dopo aver rilevato che ha
* centro C((10 - k)/2, (4 - k)/2)
* raggio r = √((k^2 - 6*k + 10)/2) > 0
ed è quindi privo di circonferenze immaginarie o degeneri sul centro.
Eliminando il parametro dalle coordinate di C si ha che il luogo dei centri (asse centrale) è la retta
* y = x - 3
e che
* r = √(2*x^2 - 14*x + 25) > 0
e quindi che si può semplificare il fascio, col parametro
* h = (10 - k)/2 ≡ k = 2*(5 - h)
scrivendolo come
* Γ(h) ≡ (x - h)^2 + (y - (h - 3))^2 = 2*h^2 - 14*h + 25
con
* centro C(h, h - 3)
* raggio r = √(2*h^2 - 14*h + 25) > 0
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I punti base, se esistono, sono le intersezioni di due Γ qualsiasi.
* Γ(0) ≡ (x - 0)^2 + (y - (0 - 3))^2 = 2*0^2 - 14*0 + 25
* Γ(1) ≡ (x - 1)^2 + (y - (1 - 3))^2 = 2*1^2 - 14*1 + 25
* (x^2 + (y + 3)^2 = 25) & ((x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 13) ≡
≡ A(3, 1) oppure B(4, 0)
congiunti dall'asse radicale (circonferenza degenere su una retta)
* AB ≡ y = 4 - x
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B) PER COM'E' SCRITTA, LA CONSEGNA E' INSODDISFACIBILE.
B1) Non si può verificare che "il fascio E' generato" in quanto PER DEFINIZIONE esso PUO' essere generato da una combinazione lineare dell'asse radicale con UNA QUALSIASI circonferenza per i punti base centrata sull'asse centrale.
Per l'inteterminatezza della Γ (perché la chiami Y?) è assurdo l'articolo determinativo usato due volte (L'equazione; simmetrica delLA) nella consegna.
B2) Se l'intenzione è di chiedere una simmetria assiale allora la consegna si deve riformulare chiedendo Γ1(k) simmetrica di Γ(k), non di una generatrice.
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QUEST'OSSERVAZIONE SVUOTA DI SIGNIFICATO LE CONSEGNE SUCCESSIVE.
Se decidi di riformulare correttamente, senza equivoci, le consegne BCD indirizzami un commento per segnalarmelo; ma, per favore, non per messaggio privato e non in tedesco.