In un prima urna sono state messe 3 palline verdi e 6 rosse, in una seconda urna ne sono state messe invece 6 nere e 3 rosse. Viene tirato un dado perfettamente equilibrato a 6 facce: se esce 6 viene scelta la prima urna, altrimenti viene scelta la seconda urna. Si effettuano 2 estrazioni senza reinserimento dall'urna scelta (sempre la stessa).
Sia $H=\{$ è stata scelta la prima urna $\}$, siano $R_i=\{$ la $i$-sima pallina estratta è rossa $\}$, per $i=1,2$, e sia $X$ il numero delle palline rosse estratte.
1) Calcolare $\mathrm{P}\left(R_i\right)$, per $i=1,2, \mathrm{P}\left(R_1 \cap R_2\right)$ e la probabilità dell'evento "le 2 palline estratte sono di colore diverso".
2) Calcolare la densità discreta $X$ e il suo valore atteso.
3) Sapendo che la prima pallina estratta è rossa, calcolare la probabilità (condizionata) che l'urna scelta sia la prima e la probabilità (condizionata) che l'urna scelta sia la seconda. Gli eventi $H$ ed $R_1$ sono indipendenti, correlati positivamente o correlati negativamente?
4) Calcolare $\mathrm{E}\left(\frac{X^2-1}{X^2+1}\right)$
Supponiamo ora di fare il seguente gioco: da un'urna con 3 palline verdi e 6 rosse si estraggono 2 palline contemporaneamente e poi le palline estratte si rimettono nell'urna e così via. Siano $Z_i$ il numero di palline rosse estratte nell'estrazione numero $i$, per $i= 1,2, \ldots, n$, e sia $S_n:=\sum_{i=1}^n Z_i$.
5) Dopo aver calcolato valore atteso e varianza di $S_n / n$, per $n=56$ usare la disuguaglianza di Chebyshev per trovare una minorazione, sempre per $n=56$, a
$$
\mathrm{P}\left(\left|\frac{S_n}{n}-\mathrm{E}\left(\frac{S_n}{n}\right)\right| \leq \frac{1}{3}\right)
$$
