ES 59

a) Questo é facile.

Per ogni ramo fai partire quelli delle scelte successive togliendo l'ultimo scelto

b) Pr[Eb] = 1/4! = 1/24

c) "AXXX" ha probabilità 3!/4! = 1/4

d) DXXX sono 6 eventi favorevoli B'DXX sono 2*2 = 4 B'B'DB sono 2

6 + 4 + 2 = 12 e 12/4! = 12/24 = 1/2

e) XXBX sono favorevoli se gli XX iniziali sono DC (2 modi per ordinarli e quindi 2)

XXXB sono tutti favorevoli e sono 3! = 6.

Allora 2 + 6 = 8 e Pr[Ee] = 8/24 = 1/3

I 4! = 24 possibili ordini sono le foglie, a livello 4, dell'albero dei casi.
Ottemperare alla consegna "a" rende banali le successive.
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Tracciare l'albero
A livello zero in alto al centro del disegno c'è il nodo radice, vuoto perché non è stato ancora interrogato nessuno, con quattro figli: le radici dei quattro alberi del livello uno.
A livello uno, subito sotto la radice, ci sono quattro (4) nodi equispaziati etichettati A, B, C, D.
A livello due ci sono dodici (4*3) nodi con etichette di due caratteri.
Sotto A ci sono i tre nodi AB, AC, AD.
Sotto B ci sono i tre nodi BA, BC, BD.
Sotto C ci sono i tre nodi CA, CB, CD.
Sotto D ci sono i tre nodi DA, DB, DC.
A livello tre ci sono ventiquattro (4*3*2) nodi con etichette di tre caratteri, da sinistra a destra: ABC, ABD, ACB, ACD, ADB, ADC, BAC, BAD, BCA, BCD, BDA, BDC, CAB, CAD, CBA, CBD, CDA, CDB, DAB, DAC, DBA, DBC, DCA, DCB.
A livello quattro ci sono ventiquattro (4*3*2*1) foglie con etichette di quattro caratteri, da sinistra a destra: ABCD, ABDC, ACBD, ACDB, ADBC, ADCB, BACD, BADC, BCAD, BCDA, BDAC, BDCA, CABD, CADB, CBAD, CBDA, CDAB, CDBA, DABC, DACB, DBAC, DBCA, DCAB, DCBA.
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Le probabilità, in ventiquattresimi, chieste dalle consegne {b, c, d, e} si hanno contando i casi che verificano la condizione posta dalla consegna.
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b) ordine alfabetico: ABCD; 1/24.
c) A per primo: ABCD, ABDC, ACBD, ACDB, ADBC, ADCB; 6/24 = 1/4.
d) D ≺ B: ACDB, ADBC, ADCB, CADB, CDAB, CDBA, DABC, DACB, DBAC, DBCA, DCAB, DCBA; 12/24 = 1/2.
e) (D ≺ B) ∧ (C ≺ B): ACDB, ADCB, CADB, CDAB, CDBA, DACB, DCAB, DCBA; 8/24 = 1/3.