f(x) = radq(x^2 +ax+b) , Dom è il dominio, D è il delta classico delle equazioni di secondo grado.
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a. C.e. x^2 +ax+b >= 0
D = a^2 - 4b.
D>0 , si ha C.e. (-a-radq(D))/2 >= x U x>= (-a + radq(D))/2 , Dom =/= R
D=0 C.e. (-a)/2 >= x U x>=(-a)/2 , Dom =R
D<0 Non ci sono radici reali, argomento radice sempre >=0. Dom = R
Quindi D<=0, ossia a^2-4b <=0 , a^2 <=4b
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b. ok
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c. f(x) pari: f(x) = f(-x), radq(x^2 +ax+b) = radq(x^2 -ax+b)
f(2) =0 , radq(4+2a+b)=0
valide sse 4+2a+b =0 , 2ax =0 che deve valere per ogni x del dominio, quindi per forza a=0. Allora se a=0 si ha 4+0+b=0, b=-4.
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d.
Il suo dominio non coincide con R quindi torniamo al caso iniziale in cui D>0. Se così è allora il sistema da risolvere diventa
{(-a-radq(D))/2 = -4
{(-a+radq(D))/2 = 6
{-a-rad(D)= -8
{-a+rad(D) = 12
Sommando membro a membro
-2a = 4, a = -2. Sostituendo nella prima e sviluppando il D si trova b
(2-rad(4-4b))/2 = -4 , 2-2rad(1-b)= -8 , rad(1-b)=-5 , 1-b=9 , b= -24. C.e. 1-b >=0 , b<=1 OK.
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e.
z(x) = 3- radq((x/2+1)^2+ a(x/2+1)+b)= 3- radq(x^2/4+1+x+ax/2+a+b) =
= 3-radq(x^2/4+x(1+a/2) +a + b +1)
Dalle prime considerazioni deve essere D>0
D= (1+a/2)^2 - (a+b+1) >0
allora si ha
x<=2(-1-a/2 -radq(D)) U x>=2(-1-a/2 + radq(D))
Dalle condizioni deve essere
x<= -4 U x>=6
Quindi
{2(-1-a/2 -radq(D)) = -4
{2(-1-a/2 +radq(D)) =6
{-2-a -2radq(D) = -4
{-2-a+2radq(D) = 6
come sopra
-4-2a =2 , a = -3. Sostituiamo sopra per trovare b =-4. Ora verifica che questi valori trovati soddisfino l'esistenza del D>0 poste all'inizio del punto e.
