[Risolto] Es 423

Intanto un disegno su cui ragionare:

Dall'equazione: x^2 + y^2 - 2·x - 9 = 0

riconosco il centro: [1, 0] ed il raggio r = √(1^2 + 0^2 + 9)---> r = √10

Il lato l del quadrato inscritto si ottiene da: l = 2·r/√2---> l = 2·√10/√2 

quindi:   l = 2·√5  (cioè circa 4.47 )

La retta data passa per l'origine:

x - 2·y = 0-----> y = x/2

per cui la coppia di lati richiesti del quadrato inscritto deve avere equazione:

y = x/2 + q

Cerchiamo quindi le intersezioni di tale retta con la circonferenza data.

{x^2 + y^2 - 2·x - 9 = 0

{y = x/2 + q

per sostituzione:

x^2 + (x/2 + q)^2 - 2·x - 9 = 0---> 5·x^2/4 + x·(q - 2) + q^2 - 9 = 0

5·x^2 + 4·x·(q - 2) + 4·q^2 - 36 = 0

soluzioni distinte sono possibili se:

Δ/4 = (2·(q - 2))^2 - 5·(4·q^2 - 36) = - 4·(4·q^2 + 4·q - 49) >0

che si verificano se: - 5·√2/2 - 1/2 < q < 5·√2/2 - 1/2

(-4.035533905 < q < 3.035533905)

Se risolviamo il sistema otteniamo:

x = - 2·(√(- 4·q^2 - 4·q + 49) + q - 2)/5 ∧ y = (2·(2·q + 1) - √(- 4·q^2 - 4·q + 49))/5

v

x = 2·(√(- 4·q^2 - 4·q + 49) - q + 2)/5 ∧ y = (√(- 4·q^2 - 4·q + 49) + 2·(2·q + 1))/5

a cui corrispondono le variazioni di x e di y:

Δx = 2·(√(- 4·q^2 - 4·q + 49) - q + 2)/5 -( - 2·(√(- 4·q^2 - 4·q + 49) + q - 2)/5)

Δx = 4·√(- 4·q^2 - 4·q + 49)/5

Δy = (√(- 4·q^2 - 4·q + 49) + 2·(2·q + 1))/5 - (2·(2·q + 1) - √(- 4·q^2 - 4·q + 49))/5

Δy = 2·√(- 4·q^2 - 4·q + 49)/5

Quindi, per Pitagora si deve avere:

l = √(Δx^2 + Δy^2)

Δx^2 = (4·√(- 4·q^2 - 4·q + 49)/5)^2 = - 16·(4·q^2 + 4·q - 49)/25

Δy^2 = (2·√(- 4·q^2 - 4·q + 49)/5)^2 = - 4·(4·q^2 + 4·q - 49)/25

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la cui somma fornisce

- 16·(4·q^2 + 4·q - 49)/25 + (- 4·(4·q^2 + 4·q - 49)/25) = - 4·(4·q^2 + 4·q - 49)/5

Quindi:

√(- 4·(4·q^2 + 4·q - 49)/5) = 2·√5

che ammette soluzioni: q = -3 ∨ q = 2

Per q =2 si ottengono i punti A e B di figura

Per q=-3 si ottengono gli altri. (vedi un po' tu!)

Il quadrato inscritto nella circonferenza di raggio r ha diagonale d = 2*r e quindi lato L = (√2)*r.
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La circonferenza
* Γ ≡ x^2 + y^2 - 2*x - 9 = 0 ≡
≡ (x - 1)^2 + y^2 = (√10)^2
ha centro C(1, 0) e raggio r = √10; da cui L = 2*√5
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La retta
* x - 2*y = 0 ≡ y = x/2
e appartiene al fascio di parallele
* r(q) ≡ y = x/2 + q
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I vertici richiesti sono le intersezioni di Γ con le r(q) che staccano una corda lunga L.
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* r(q) & Γ ≡ (y = x/2 + q) & ((x - 1)^2 + y^2 = 10) ≡
≡ P((2/5)*(2 - q + √(- (4*q^2 + 4*q - 49))), (1/5)*(2*(2 q + 1) + √(- (4*q^2 + 4*q - 49)))
oppure
≡ Q((2/5)*(2 - q - √(- (4*q^2 + 4*q - 49))), (1/5)*(2*(2 q + 1) - √(- (4*q^2 + 4*q - 49)))
da cui
* |PQ| = 2*√(- (4*q^2 + 4*q - 49))/√5 = L = 2*√5 ≡
≡ √(- (4*q^2 + 4*q - 49)) = 5 ≡
≡ (q = - 3) oppure (q = 2)
quindi le secanti sono
* r(- 3) ≡ y = x/2 - 3
* r(2) ≡ y = x/2 + 2
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* (y = x/2 - 3) & ((x - 1)^2 + y^2 = 10) ≡ (0, - 3) oppure (4, - 1)
* (y = x/2 + 2) & ((x - 1)^2 + y^2 = 10) ≡ (- 2, 1) oppure (2, 3)
e i vertici, in senso antiorario, sono
* A(- 2, 1), B(0, - 3), C(4, - 1), D(2, 3)
che, tranne l'ordine, è il risultato atteso.