Dati i punti $A(-3,0)$ e $B(2,0)$, determina:
i due punti $C_1$ e $C_2$, appartenenti al semiasse positivo delle $y$, tali che $A \widehat{C}_1 B=135^{\circ}$ e $A \widehat{C}_2 B=45^{\circ}$;
il rapporto tra le aree dei triangoli $A C_1 B$ e $A C_2 B$
le misure degli altri due angoli dei triangoli $A C_1 B$ e $A C_2 B$
le equazioni delle circonferenze circoscritte ai due triangoli $A C_1 B$ e $A C_2 B$. Come risultano tali circonferenze?
Potreste svolgere la lettera a e d, vi ringrazio!
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punti
Livello 1
a) Determinare C1 e C2
* 135° = 3*π/4 radianti
* 45° = π/4 radianti
Il cursore Y(0, h > 0) del semiasse y > 0 è il vertice non solo del triangolo ABP, ma anche dei triangoli rettangoli AOP e OBP che hanno angoli acuti in P rispettivamente
* α = arctg(|AO|/|OP|) = arctg(3/h)
* β = arctg(|OB|/|OP|) = arctg(2/h)
L'angolo θ sotto cui P vede AB è
* θ = α + β = arctg(3/h) + arctg(2/h)
Quindi
* arctg(3/h) + arctg(2/h) = 3*π/4 ≡ C1(0, 1)
* arctg(3/h) + arctg(2/h) = π/4 ≡ C2(0, 6)
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d1) Equazioni dei circumcerchi Γ1 e Γ2 di ABC1 e ABC2
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Nell'equazione della circonferenza generica in forma normale standard
* Γ ≡ (x - a)^2 + (y - b)^2 = q = r^2
ci sono tre parametri: raggio r (o q = r^2) e coordinate del centro C(a, b).
Si trova l'equazione della circonferenza trovando i tre parametri (a, b, q).
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Il circumcentro K(x, y) è l'unico punto del piano equidistante dai punti ABC e tale comune distanza è il circumraggio R > 0; sempre che abbia soluzione (a meno che ABC non siano allineati o vi siano coincidenze) il sistema nelle tre incognite (x, y, R) delle tre equazioni
* |KA|^2 = |KB|^2 = |KC|^2 = R^2
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Si trovano le richieste equazioni
* Γ1 ≡ (x + 1/2)^2 + (y + 5/2)^2 = 25/2
* Γ2 ≡ (x + 1/2)^2 + (y - 5/2)^2 = 25/2
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d2) "Come risultano tali circonferenze?" NON RISULTANO, in quanto inesistenti.
La precedente consegna chiedeva soltanto di determinarne le equazioni, non di tracciarle.
Se ci fosse stata la richiesta di tracciamento allora il grafico sarebbe stato come
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5B%28x--1%2F2%29%5E2%3D25%2F2-%28y--5%2F2%29%5E2%2C%28x--1%2F2%29%5E2%3D25%2F2-%28y-5%2F2%29%5E2%5D
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Va be', senza pignolare troppo sull'uso dell'italiano, dal confronto delle equazioni si notano due particolarità: i centri sono allineati sulla x = - 1/2; i raggi sono entrambie eguali a 5/√2.
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