Nel triangolo $A B C$ è $\overline{A B}=2, A \widehat{C} B=\frac{\pi}{4}, B \widehat{A} C=x$. Quanto può valere, al massimo, l'area del triangolo $A B C$ ? $\left[\right.$ Area $=\sqrt{2} \sin \left(2 x-\frac{\pi}{4}\right)+1 ;$ l'area vale al massimo $\sqrt{2}+1$, il massimo è raggiunto per $x=\frac{3 \pi}{8}$.
Potreste svolgerlo, grazie a me esce un altro risultato.
214
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Livello 1
Possiamo scrivere l'area del triangolo in 3 modi:
Α = 1/2·a·b·SIN(γ)
Α = 1/2·a·c·SIN(β)
Α = 1/2·b·c·SIN(α)
Con le solite convenzioni sui lati e sugli angoli
Nel nostro caso:
c = 2
α = x
γ = pi/4
β = pi - (pi/4 + x) = 3·pi/4 - x
Quindi:
Α = √2·a·b/4
Α = 1/2·a·2·SIN(3·pi/4 - x)= a·SIN(x + pi/4)
Α = 1/2·b·2·SIN(x) = b·SIN(x)
Quindi possiamo scrivere il sistema:
{√2·a·b/4 = a·SIN(x + pi/4)
{√2·a·b/4 = b·SIN(x)
che fornisce soluzione: a = 2·√2·SIN(x) ∧ b = 2·√2·SIN(x + pi/4)
Α = √2·(2·√2·SIN(x))·(2·√2·SIN(x + pi/4))/4
Α = 2·√2·SIN(x)·SIN(x + pi/4)
Derivando e imponendo la C.N.
2·√2·SIN(x)·COS(x + pi/4) + 2·√2·COS(x)·SIN(x + pi/4) = 0
SIN(x)·COS(x + pi/4) + COS(x)·SIN(x + pi/4) = 0
quindi:
SIN(x + x + pi/4) = 0----> SIN(2·x + pi/4) = 0
2·x + pi/4 = k·pi---> x = pi·k/2 - pi/8
per k=1: x = 3·pi/8
115496
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Genius III
