[Risolto] Es 315

Applica la definizione dei due luoghi geometrici.

Ellisse

√((x + 4)^2 + y^2) + √((x - 4)^2 + y^2) = 2·a

Si fa riferimento alla somma delle due distanze che deve rimanere costante e pari a:

2·a = 4 + 6-------> 2·a = 10

Isolo quindi i due radicali:

√((x - 4)^2 + y^2) = 10 - √((x + 4)^2 + y^2)

elevo al quadrato:

x^2 - 8·x + y^2 + 16 =

= - 20·√(x^2 + 8·x + y^2 + 16) + x^2 + 8·x + y^2 + 116

sviluppo:

20·√(x^2 + 8·x + y^2 + 16) = 16·x + 100

5·√(x^2 + 8·x + y^2 + 16) = 4·x + 25

elevo ancora al quadrato:

25·x^2 + 200·x + 25·y^2 + 400 = 16·x^2 + 200·x + 625

9·x^2 + 25·y^2 = 225

quindi:

x^2/25 + y^2/9 = 1

Iperbole

√((x + 4)^2 + y^2) - √((x - 4)^2 + y^2) = 2·a

Si fa riferimento alla differenza delle due distanze che deve essere pari a:

2·a = 6 - 4-------> 2·a = 2

quindi:

√((x + 4)^2 + y^2) = 2 + √((x - 4)^2 + y^2)

elevo al quadrato:

x^2 + 8·x + y^2 + 16 = 4·√(x^2 - 8·x + y^2 + 16) + x^2 - 8·x + y^2 + 20

4·√(x^2 - 8·x + y^2 + 16) = 16·x - 4

elevo ancora:

16·x^2 - 128·x + 16·y^2 + 256 = 256·x^2 - 128·x + 16

240·x^2 - 16·y^2 = 240

quindi:

x^2 - y^2/15 = 1

Punto C

Per determinare le sue coordinate che sono nel 1° quadrante pongo per semplificare i calcoli:

x^2 = α

y^2 = β

e risolvo il sistema:

{α/25 + β/9 = 1

{α = 1 + β/15

procedo per sostituzione:

(1 + β/15)/25 + β/9 = 1

(128·β + 45)/1125 = 1

128·β = 1080-----> β = 135/16

α = 1 + 135/16/15-----> α = 25/16

Quindi:

x^2 = 25/16-----> x = - 5/4 ∨ x = 5/4

y^2 = 135/16-----> y = - 3·√15/4 ∨ y = 3·√15/4

C(5/4 , 3·√15/4)