[Risolto] es 31

Problema:

Due eventi hanno coordinate nel sistema di riferimento $S'$ date da:
$\text{Evento A: } (t'_1 = {24}{s},\; x'_1 = {12}{m})$

$\text{Evento B: } (t'_2 = {35}{s},\; x'_2 = {25}{m})$

Essi si verificano sull'asse $x'$ del sistema $S'$. Determinare:

A che velocità deve traslare $S'$ affinché i due eventi si verifichino nello stesso punto $S$?

Che coordinata $x$ ha tale punto?

Soluzione:

Attendere conferma della soluzione.

Le trasformazioni di Lorentz, in una dimensione spaziale, che collegano le coordinate spazio-temporali di un evento tra due sistemi inerziali $S$ e $S'$, ove $S'$ si muove rispetto a $S$ lungo l'asse $x$ con velocità costante $v$, sono descritte da:

$\begin{align*}
x &= \gamma (x' + v t') \\
t &= \gamma \left(t' + \frac{v x'}{c^2} \right)
\end{align*}$

Ove:
\[
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}
\]
e $c$ è la velocità della luce nel vuoto.

Si richiede che i due eventi si verifichino nello stesso punto in $S$, ossia:
\[
x_1 = x_2
\]

Applicando la trasformazione di Lorentz per $x$ a entrambi gli eventi, si ottiene:
\[
\gamma (x'_1 + v t'_1) = \gamma (x'_2 + v t'_2)
\]

Poiché $\gamma \neq 0$:

\[
x'_1 + v t'_1 = x'_2 + v t'_2
\]

Risolvendo rispetto a $v$:

$\begin{align*}
x'_1 - x'_2 &= v (t'_2 - t'_1) \\
v &= \frac{x'_1 - x'_2}{t'_2 - t'_1}
\end{align*}$

Sostituendo i valori numerici:

$\begin{align*}
v &= \frac{12\,\text{m} - 25\,\text{m}}{35\,\text{s} - 24\,\text{s}} = \frac{-13\,\text{m}}{11\,\text{s}} \approx -1.18\,\text{m/s}
\end{align*}$

Il segno negativo indica che il sistema $S'$ si muove verso sinistra rispetto al sistema $S$.

Adesso si calcola la coordinata spaziale $x$ nel sistema $S$ in cui avvengono entrambi gli eventi tramite la trasformazione:

\[
x = \gamma (x' + v t')
\]

Poiché $v \ll c$, è possibile assumere $\gamma \approx 1$ come approssimazione non relativistica. Utilizzando i dati dell’evento A:

$\begin{align*}
x &= x'_1 + v t'_1 = 12\,\text{m} + (-1.18\,\text{m/s}) \cdot 24\,\text{s} \\
x &= 12 - 28.32 = -16.32\,\text{m}
\end{align*}$

 La velocità del sistema $S'$ rispetto a $S$ deve essere: $v = -1.18\,\text{m/s}$
 La coordinata spaziale nel sistema $S$ in cui avvengono entrambi gli eventi è: $x = -16.32\,\text{m}$