[Risolto] Es 279

x^2 + y^2 = 4

Circonferenza di raggio r=2 con centro in O(0,0)

x^2 + y^2 + 4·y = 0

Circonferenza di raggio r=2 con centro nel punto [0,-2]. Per sottrazione si ottiene l'asse radicale:

{x^2 + y^2 + 4·y = 0

{x^2 + y^2 = 4

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4y=-4-------> y = -1

Risolvendo il sistema si ottengono i punti base del fascio: 

[x = √3 ∧ y = -1, x = - √3 ∧ y = -1]

La retta dei centri o asse centrale è asse del segmento che ha come estremità i punti base. Quindi ha equazione x=0 che assicura la possibilità dell'esistenza di una circonferenza con centro in [0,4] passante per i due punti.

Il raggio di tale circonferenza deve valere: √((√3 - 0)^2 + (-1 - 4)^2) = 2·√7

Quindi l'equazione è: x^2+(y-4)^2=(2·√7)^2

quindi:x^2 + y^2 - 8·y - 12 = 0

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Osserviamo infine che la retta: y = - √3/3·x - 2 passa per uno dei due punti base del fascio: [- √3, -1].

Il centro della circonferenza cercata potrà essere determinato tramite intersezione della normale alla retta in tale punto base con x=0.

* Γ1 ≡ x^2 + y^2 = 4
ha centro O(0, 0) e raggio r = 2
* Γ2 ≡ x^2 + y^2 + 4*y = 0 ≡ x^2 + (y + 2)^2 - 4 = 0 ≡ x^2 + (y + 2)^2 = 4
ha centro C(0, - 2) e raggio r = 2
Il loro sistema dà i punti base
* (x^2 + y^2 = 4) & (x^2 + (y + 2)^2 = 4) ≡
≡ A(- √3, - 1) oppure B(√3, - 1)
allineati sulla y = - 1 e simmetrici rispetto alla x = 0.
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L'equazione del fascio è la loro combinazione lineare con coefficienti (a, b) non entrambi nulli
* a + b != 0
* Γ(a, b) ≡ a*(x^2 + y^2 - 4) + b*(x^2 + y^2 + 4*y) = 0 ≡
≡ (a + b)*x^2 + (a + b)*y^2 + 4*b*y - 4*a = 0 ≡
≡ x^2 + y^2 + 4*(b/(a + b))*y - 4*a/(a + b) = 0 ≡
≡ x^2 + (y + 2*b/(a + b))^2 - 4*(b/(a + b))^2 - 4*a/(a + b) = 0 ≡
≡ x^2 + (y + 2*b/(a + b))^2 = 4*(a^3 - b^3)/((a - b)*(a + b)^2)
da cui
* centro C(0, - 2*b/(a + b))
* luogo dei centri x = 0
* raggio |BC| = r = 2*√((a^3 - b^3)/((a - b)*(a + b)^2)) = √((1 - 2*b/(a + b))^2 + 3)
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RISPOSTE AI QUESITI
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a) Γ centrata in C(0, 4)
* raggio^2 |BC|^2 = r^2 = 28
* Γ ≡ x^2 + (y - 4)^2 = 28 ≡ x^2 + y^2 - 8*y - 12 = 0
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b) Γ tangente la retta
* t ≡ y = - (√3/3)*x - 2 ≡ y = - (x/√3 + 2)
* raggio |Ct| = r = √(3*(a/(a + b))^2)
* raggio |BC| = r = √((1 - 2*b/(a + b))^2 + 3)
* |Ct| = |BC| ≡ (a + 2*b)/(a + b) = 0 ≡ a = - 2*b
da cui
* centro C(0, 2)
* raggio^2 |BC|^2 = r^2 = 12
* Γ ≡ x^2 + (y - 2)^2 = 12 ≡ x^2 + y^2 - 4*y - 8 = 0