Iniziamo trovando il punto $P$ appartente a $y=2x+2$, quindi poniamo $y_P=0$, e troviamo $2x_P+2=0$
$x_P=-1$, quindi $P(-1,0)$. Una circonferenza generica ha equazione $x^2+y^2+ax+by+c=0$, quindi poniamo il passaggio della circonferenza per $P$ ed $R(2,-3)$:
$\begin{cases} (-1)^2+0^2+a(-1)+b(0)+c=0 \\ 2^2+(-3)^2+a(2)+b(-3)+c=0 \end{cases}$
$\begin{cases} a =c+1 \\ b=c+5 \end{cases}$
Per trovare il centro della circonferenza, possiamo sfruttare il fatto che questo sicuramente appartiene all'asse di $\overline{PR}$ dato che detto $O$ il centro $\overline{OP} \cong \overline{OR}$ dato che sono entrambi raggi. Inoltre, un raggio è sempre perpendicolare alla tangente in un punto della circonferenza, quindi il centro appartiene anche alla perpendicolare a $y=2x+2$ passante per $P$, che è $y=-\frac{1}{2}(x+1)$. Mettiamo a sistema:
$\begin{cases} y=-\frac{1}{2}(x+1) \\ y^2+(x+1)^2=(y+3)^2+(x-2)^2 \end{cases}$
$\begin{cases} y =-\frac{1}{2}(x+1) \\ x-y-2=0 \end{cases}$.
$x-2=-\frac{1}{2}(x+1)$
$x=1$.
$y=x-2=1-2=-1$.
Ricordiamo che $C_x=-\frac{a}{2}=-\frac{c+1}{2}=1 \implies c=-3 \implies a =-2 \implies b=2$. In definitiva l'equazione della circonferenza è:
$x^2+y^2-2x+2y-3=0$.
Troviamo facilmente la tangente in $R$, ci basta porre il passaggio della perpendicolare a $\overline{OR}$ per $R$:
$m_{\overline{OR}}=\frac{-1+3}{1-2}=-2$, quindi la tangente ha coefficiente angolare $m_r=\frac{1}{2}$. Allora pongo il passaggio per $R$:
$r:\ y+3=\frac{1}{2}(x-2)$
$r:\ y=\frac{1}{2}x-4$.
La parabola ha equazione $f(x)=\frac{1}{4}x^2$, quindi $f'(x)=\frac{1}{2}x$.
Essendo la tangente alla parabola parallela ad $r$ risolviamo $f'(x)=\frac{1}{2}$:
$\frac{1}{2}x=\frac{1}{2}$
$x=1$. Poniamo il passaggio della tangente per il punto noto il coefficiente angolare:
$y-f(1)=\frac{1}{2}(x-1)$
$y-\frac{1}{4}=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}$
$y=\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}$. La distanza da $r$ ad $s$ è la distanza punto-retta fra un punto appartenente ad una retta e l'altra retta, quindi usiamo il punto $S$ che abbiamo appena trovato, ma prima portiamo $r$ in forma implicita:
$y=\frac{1}{2}x-4 \implies x-2y-8=0$
ora procediamo
$d=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{|1-2\frac{1}{4}-8|}{\sqrt{1^2+2^2}}=\frac{|1-\frac{1}{2}-8|}{\sqrt{5}}=\frac{15}{2\sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{5}}{2}$.
Poniamo il passaggio di una retta per $R$ ed $S$:
$\frac{y-\frac{1}{4}}{\frac{1}{4}+3}=\frac{x-1}{1-2}$
$y-\frac{1}{4}=-\frac{13}{4}(x-1)$
$y=-\frac{13}{4}x+\frac{7}{2}$.
Se preferisci, qui trovi un link al grafico.
