Data una semicirconferenza di centro $O$ e diametro $\overline{A B}=12 a$, considera su di essa un punto $P$ tale che $P \widehat{O} B$ sia acuto e $\cos P \widehat{O} B=\frac{12}{13}$. La retta tangente alla semicirconferenza in $P$ incontra in $T$ il prolungamento del diametro $A B$ e in $S$ la perpendicolare al diametro in $O$. Calcola il perimetro dei tre triangoli $O P T, O P S$ e $O S T$.
$[15 a ; 36 a ; 39 a]$
Potreste svolgerlo,grazie
214
punti
Livello 1
Triangolo OPT
COS(θ) = ΟΗ/ΟΡ = 12/13
ΟΗ = 12/13·ΟΡ con ΟΡ = 6·a:
ΟΗ = 12/13·(6·a)----> ΟΗ = 72·a/13
ΡΗ/ΟΡ = SIN(θ)
SIN(θ) = √(1 - (12/13)^2)----> SIN(θ) = 5/13
ΡΗ = ΟΡ·SIN(θ)---> ΡΗ = 6·a·5/13---> ΡΗ = 30·a/13
ΟΡ^2 = ΟΤ·ΟΗ 1° Th Euclide
(6·a)^2 = ΟΤ·(72·a/13)
ΟΤ = (6·a)^2/(72·a/13)-----> ΟΤ = 13·a/2
ΡΤ = √((13·a/2)^2 - (6·a)^2) Th Pitagora
ΡΤ = 5·a/2
perimetro triangolo=
=ΟΡ + ΡΤ + ΟΤ = 6·a + 5·a/2 + 13·a/2= 15·a
--------------------------------------
Triangolo OPS
COS(θ) = 12/13
SIN(θ) = 5/13
TAN(θ) = 5/13/(12/13)-----> TAN(θ) = 5/12
ΟΡ/ΡS = 5/12----> ΡS = 6·a/(5/12)----> ΡS = 72·a/5
ΟS = √((6·a)^2 + (72·a/5)^2) Th Pitagora
ΟS = 78·a/5
perimetro=6·a + 72·a/5 + 78·a/5 = 36·a
--------------------------------------------------
115471
punti
Genius III
...vale quello che ha detto LucianoP sul più piccolo Triangolo OPT
i tre triangoli in esame sono simili... e per il 2° di euclide s=6a è media proporzionale tra PT e PS ---> PT : s = s : PS=1/tantheta = 1/tan(arccos(12/13))= 12/5 , ma s è il cateto lungo del triangolo più piccolo ed è il cateto corto del triangolo medio
.
Allora s/PS = 12:5 è il rapporto tra il triangolo medio e quello piccolo ; se 2*p1 = 15a sarà 2*p2= 12(2*p1)/5 = 12*15a/5 = 36a --->ok!
th di pitagora OS = sqrt((12s/5)^2 + s^2) =(13*s)/5 ; OS/s=13/5 è il rapporto tra il triangolo grande OST e quello piccolo OPT quindi 2*p3 = 13(2*p1)/5 = 13*15a/5 = 39a ---> ok!
7583
punti
Livello 5
