es 11

Qui ho disegnato il grafico, ti servirà per seguire la risoluzione (se leggi da telefono potresti non visualizzarlo correttamente, in tal caso mettilo in orizzontale, oppure usa il link a fine risposta):

L'equazione generica di una parabola ha la forma $y=ax^2+bx+c$, se l'asse della parabola coincide con l'asse $y$ allora $b=0$, perché l'equazione dell'asse è $x=-\frac{b}{2a}=0 \implies b=0$, quindi le parabole che dobbiamo costruire hanno equazione $f(x)=ax^2+c$. Mentre i punti che stiamo cercando sono congiunti da una retta la cui distanza dal centro è $\frac{r}{2}$. Nota che la parabola che stiamo cercando è una funzione pari, quindi è simmetrica rispetto all'asse $y$, allora se interseca la circonferenza nel punto $A(x_1,f(x_1))$ la intersecherà anche nel punto $B(-x_1,f(x_1))$, quindi i punti di tangenza hanno la stessa ordinata, allora la retta che li congiunge è una parallela all'asse $x$, quindi la perpendicolare passante per il centro è parallela all'asse $y$, allora concludiamo che $f(x_1)=\frac{r}{2}$. Per ovvie ragioni di simmetria allora l'altra parabola avrà equazione $g(x)=-ax^2-c$ e i punti di tangenza con la circonferenza saranno $D(x_1,-\frac{r}{2})$ e $C(-x_1,-\frac{r}{2})$. Se $O$ è l'origine degli assi cartesiani, il triangolo $AOP$ con $P(0, r)$ è equilatero, perché detto $M$ il punto medio di $\overline{OP}$ abbiamo che $\overline{OM} \cong \overline{MP} = \frac{r}{2}$, poi $\overline{OA}=r$, i triangoli $MPA$ e $MOA$ sono congruenti per il primo criterio di congruenza, perché $\overline{OM} \cong \overline{OP}$, $\overline{MA} \cong \overline{MA}$ e l'angolo compreso fra i lati è retto perché $M$ appartiene alla retta $\overline{AB}$ dato che $M(0, \frac{r}{2})$; se i triangoli sono congruenti $\overline{OA} \cong \overline{PA} \cong \overline{OP}$, quindi il triangolo $AOP$ è equilatero. Allora l'altezza relativa alla base $\overline{OP}$ ha lunghezza $r\frac{\sqrt{3}}{2}$, quindi $A(r\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{r}{2})$.

Allora abbiamo che $a\frac{3}{4}r^2+c=\frac{1}{2}r$ dall'equazione della parabola, ed essendo tangenti nel punto $A$ la derivata della parabola è uguale alla derivata della circonferenza, che esprimeremo con la funzione $h(x)=\sqrt{r^2-x^2}$ (perché aveva equazione $x^2+y^2=r^2$, anche se tecnicamente questa funzione tiene solo conto della semicirconferenza tra il primo e il secondo quadrante).

Deriviamo:

$h'(x)=-\frac{x}{\sqrt{r^2-x^2}}$ per la regola della catena, mentre semplicemente $f'(x)=2ax$.

Ricordiamo che le funzioni sono tangenti per il punto di ascissa $x_1=r\frac{\sqrt{3}}{2}$, quindi poniamo $f'(x_1)=h'(x_1)$:

$2ax_1=-\frac{x_1}{\sqrt{r^2-x_1^2}}$

$2a=-\frac{1}{\sqrt{r^2-\frac{3}{4}r^2}}$

$a=-\frac{1}{2\sqrt{\frac{r^2}{4}}}$

$a=-\frac{1}{r}$

Torniamo all'equazione della parabola per ricavare $c$ e sostituiamo $a=-\frac{1}{r}$:

$-\frac{1}{r}\frac{3}{4}r^2 +c = \frac{1}{2}r$

$c=\frac{5}{4} r$

Allora l'equazione di una parabola è $y= -\frac{1}{r} x^2 +\frac{5}{4}r$, l'altra ha i coefficienti opposti: $y=\frac{1}{r}x^2-\frac{5}{4}r$.

L'area che dobbiamo calcolare è quella che ho segnato in blu, possiamo calcolarla come la differenza $2\int_{-\frac{\sqrt{3}}{2}r}^{0} f(x) dx- 2\frac{\sqrt{3}}{4}r^2$ (sottraggo l'area del rettangolo con base e altezza $\overline{OM}$ e $\overline{BM}$) e l'area sotto l'arco $AP$ considerando $M$ presa due volte. Iniziamo calcolando l'area sottesa dall'arco. Concentriamoci sul settore circolare $KPO$ di area $\frac{\pi}{4}r^2$, sottriamo l'area del triangolo $BOM$ che è $\frac{1}{2}\frac{\sqrt{3}}{2}r\frac{r}{2}=\frac{\sqrt{3}}{8}r^2$. Mentre l'area del settore circolare $KOB$ possiamo calcolarla facilmente sapendo che l'angolo $\overline{KOB}$ è di $30^{\circ}$ perché l'angolo del triangolo equilatero è $60^{\circ}$, allora abbiamo il suo complementare. Quindi $A_{KOB}=\frac{30^{\circ}}{360^{\circ}}\pi r^2 = \frac{\pi}{12} r^2$. Allora l'area di $AP$ presa due volte è $2(\frac{\pi}{4} r^2-\frac{\pi}{12}r^2-\frac{\sqrt{3}}{8}r^2) = r^2(\frac{\pi}{3} -\frac{\sqrt{3}}{4})$.

L'integrale possiamo calcolarlo ricavando la primitiva $F(x)=-\frac{1}{3r}x^3+\frac{5}{4}rx$, quindi $2(F(0)-F(-\frac{\sqrt{3}}{2}r))=\sqrt{3}r^2$, quindi l'area è $\sqrt{3}r^2-\frac{\sqrt{3}}{2}r^2-r^2(\frac{\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{4})=(\frac{3}{4}\sqrt{3}-\frac{\pi}{3})r^2$.

Calcolo dell'area del segmento parabolico con il teorema di Archimede:
$A=\frac{2}{3} \overline{BM} \cdot \overline{MV}=\frac{2}{3} (\frac{5}{4}r-\frac{r}{2}) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}r=\frac{\sqrt{3}}{4}r^2$ che presa due volte risulta quindi $\frac{\sqrt{3}}{2}r^2$. Allora l'area che stiamo cercando è $\frac{\sqrt{3}}{2}r^2-r^2(\frac{\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{4})=(\frac{3}{4}\sqrt{3}-\frac{\pi}{3})r^2$.

Mentre qui puoi modificare il grafico.