equazioni traslate

@lorenzo_licinio_carino

Ciao di nuovo.

Apprezzo la considerazione di @exprof, anche perché sinceramente, l'avrei fatta anch'io.

C'è da dire che una curva nel piano può avere, ma la maggior parte delle volte non l'ha una simmetria rispetto ad un punto del piano stesso. Tale punto, se esiste, può o no appartenere alla curva in questione.

Qui appartiene ed @exprof ha approfittato di una proprietà delle cubiche per risolvere il problema posto.

Quindi vediamo la risoluzione classica. Se la curva ammette un centro di simmetria: C(α, β), vuol dire che

esiste un altro punto P'(v,w) appartenente alla curva stessa simmetrico di P(x,y) rispetto a C:

{α = (x + v)/2

{β = (y + w)/2

quindi:

{v = 2·α - x

{w = 2·β - y

Siccome il punto (v,w) appartiene (se non dovesse appartenere lo si può verificare!), ci suggerisce che il problema posto può essere risolto facendo le sostituzioni:

{x--->2·α - x

{y---> 2·β - y

Quindi:

2·β - y = (2·α - x)^3/3 - (2·α - x)^2

risolvendo rispetto ad y si ottiene:

y = x^3/3 + x^2·(1 - 2·α) + 4·α·x·(α - 1) - 2·(4·α^3 - 6·α^2 - 3·β)/3

Quindi si confronta con la funzione data: y=x^3/3-x^2

Si devono quindi verificare le seguenti condizioni, messe a sistema

{1 - 2·α = -1

{4·α·(α - 1) = 0

{- 2·(4·α^3 - 6·α^2 - 3·β)/3 = 0

dalla prima: α = 1

dalla seconda: α = 1 ∨ α = 0 (la seconda si esclude!)

Quindi per sostituzione, nella terza, si ottiene:

- 2·(4·1^3 - 6·1^2 - 3·β)/3 = 0

2·(3·β + 2)/3 = 0

β = - 2/3--------> C(1,-2/3)

Io sono un grande sostenitore della strategia "applicando la definizione", però da seguire quando non si vedono approcci specifici.
Qui però un approccio specifico c'è, e salta agli occhi: la cubica base (y = x^3) è funzione dispari con l'unico flesso nell'origine; quindi azzerare la derivata seconda (y'' = 2*(x - 1)) dà l'ascissa del centro di simmetria C cercato
* C(k, k^3/3 - k^2) = (1, 1^3/3 - 1^2) = (1, - 2/3)
che è proprio il risultato atteso.

Il procedimento che hai proposto é corretto e lo é pure il risultato, che ho controllato con Desmos.

Quello che vuoi fare si traduce in

(2 b - y) =  1/3 (2a - x)^3 - (2a - x)^2

trasportando gli addendi puoi riscrivere

y = -1/3 (2a - x)^3 + (2a - x)^2 + 2b

y = 1/3 ( x - 2a )^3 + (x - 2a )^2 + 2b

sviluppando

y = 1/3 (x^3 - 6a  x^2 + 12 a^2 x - 8a^3 ) + x^2 - 4a x + 4a^2 + 2b

y = x^3/3 - 2a x^2 + 4a^2 x - 8/3 a^3 + x^2 - 4a x + 4a^2 + 2b

y = x^3/3 - (2a - 1) x^2 + (4a^2 - 4a) x + (-8/3 a^3 + 4a^2 + 2b )

Affinché questa sia identica all'originale occorre e basta che sia verificato il sistema

{ 2a - 1 = 1

{ 4a(a - 1) = 0

{ - 8/3 a^3 + 4a^2 + 2b = 0

Le prime due sono simultaneamente soddisfatte se 2a = 2 => a = 1

e sostituendo nell'ultima

2b = 8/3 * 1^3 - 4*1^2

b = 4/3 - 2 = (4-6)/3 = -2/3

Così C = (a,b) = (1; -2/3)