Equazioni risolvibili con raccoglimento totale e parziale

@salvonardyn 

Comincio a ragionare dalla terza riga. 

Hai 2 possibili strade da seguire che portano ovviamente allo stesso risultato:

1)

Raccolgo parzialmente il fattore 3x² tra i primi due addendi e parzialmente (-3x) tra il terzo e quarto, ottenendo:

 

3x²(2x²+1) - 3x(2x²+1) = 0

 

Nei due termini dell'equazione è presente il polinomio (2x² + 1) che può essere quindi raccolto in toto, ottenendo:

 

(2x²+1)(3x²-3x) = (2x²+1)* 3x* (x-1) = 0

 

Il termine (2x²+1) è la somma di due quadrati di cui uno diverso da zero ed è quindi una quantità sempre positiva. Le radici dell'equazione sono: x=0; x=1

 

2)

Raccolgo parzialmente il fattore 6x³ tra il primo e il terzo addendo, parzialmente il fattore (3x) tra il secondo e quarto addendo. Si ottiene:

 

6x³(x-1) + 3x(x-1) = 0

 

Raccogliendo totalmente (x-1) si ottiene:

 

(x-1)* (6x³+3x) = (x-1)* 3x * (2x²+1) = 0

 

Vedi primo procedimento... 

Fammi sapere se ti risulta chiaro ciò che ho scritto. 

Buona giornata. 

Stefano 

 

Quest'esempio svolto è, a mio parere, un ottimo esempio del fatto che gli autori dei moderni libri di testo anche quando predicano bene ("Alcune equazioni di grado superiore al secondo" sono "risolubili con scomposizioni in fattori") sono poi costretti da qualche idiota direttiva a razzolare male ("scomponiamo con raccoglimento totale e poi un raccoglimento parziale").
Alex Drastico rimarrebbe sbalordito «Ma chi? Ma come? Ma chi cazzu? Com'è sto fatto?» questo è un libro di scuola diretto a ragazzini inesperti al loro primo contatto coi polinomi e tu per facilitargli le cose gli vai a suggerire trucchetti? "scomponiamo con raccoglimento totale e poi un raccoglimento parziale"? Ma che il principiante ha bisogno di rassicurazioni come rinforzo all'apprendimento non te l'ha raccontato nessuno? I primi esercizi gli DEVONO riuscire bene!
Mi pare ovvio che a dirgli "o vedi il trucco o il passaggio non lo capisci" poi l'alunno principiante o, in questo caso, @SalvoNardyn (principiante di ritorno) si arrenda e chieda aiuto per capire il trucco che gli sfugge; vale a dire che l'esempio svolto invece di rassicurazione gli ha fornito frustrazione (uno si sforza a studiare ed è costretto ad accorgersi che da solo non ce la fa: non è bello!).
Ripeto che tutto ciò che sto scrivendo è solo un mio parere.
Sono convinto che ai principianti si debbano mostrare metodi procedurali (forse pallosi, ma dall'esito garentito) e non fornire incoraggiamenti a "indovinare" perché il principiante il colpo d'occhio non ce l'ha ed è illusorio credere che gli si sviluppi prendendo frustrazioni.
Parlando di polinomi, io sostengo la procedura di Bramegupta (metodo risolutivo sistematico) contro il "trinomio particolare" (metodo risolutivo basato sul colpo d'occhio) per quelli di grado due e, per quelli di grado superiore, una scomposizione sistematica e non per raccoglimenti a meno che non siano talmente evidenti da non richiedere d'essere indovinati.
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ESEMPIO: 6*x^4 + 3*x^2 - 6*x^3 = 3*x
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A) Ottenere la forma normale canonica: generico polinomio g(x) = 0 (ridotto e ordinato).
* 6*x^4 + 3*x^2 - 6*x^3 = 3*x ≡
≡ g(x) = 6*x^4 - 6*x^3 + 3*x^2 - 3*x = 0
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B1) Estrarre, se ce ne sono, tutte le radici nell'origine.
B2) Estrarre, se c'è, l'unico fattore di grado zero.
* 6*x^4 - 6*x^3 + 3*x^2 - 3*x = 0 ≡
≡ (6*x^3 - 6*x^2 + 3*x - 3)*x = 0 ≡
≡ 6*(x^3 - x^2 + x/2 - 1/2)*x = 0
Quindi
* g(x) = 6*x*p(x) = 0
Resta da scomporre un polinomio monico p(x) con termine noto non nullo.
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C) Cercare eventuali radici razionali valutando p(x), nella forma economica
* p(x) = ((x - 1)*x + 1/2)*x - 1/2
su tutti i divisori del termine noto
* {- 1, - 1/2, 1/2, 1}
ottenendo
* p(- 1) = - 3 != 0
* p(- 1/2) = - 9/8 != 0
* p(1/2) = - 3/8 != 0
* p(1) = 0 ← radice razionale, eccola!
da cui
* g(x) = 6*x*(x^3 - x^2 + x/2 - 1/2) = 6*x*(x - 1)*(x^2 + 1/2) = 0
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CONCLUSIONE (sempre e solo a parer mio!)
Se il libro avesse esposto una procedura come questa in un paragrafo del capitolo precedente all'esempio svolto forse questo sarebbe stato condotto senza chiedere all'alunno di "vedere" i raccoglimenti e costringerlo, non vedendoli, a giudicarsi non autosufficiente e a chiedere un intervento di sostegno.
Ma io sono un vecchiaccio e si sa che ce l'ho con i libri di testo.