Nell’equazione parametrica con? ≠−3: (5 punti)
(?+3)?2 −2??+?−1 =0
determinare k in modo che:
a. le due radici reali concordi; c. le radici abbiano somma 1;
b. una radice sia uguale a -1; d. la somma dei quadrati delle radici sia uguale a 2.
Grazie
Nell’equazione parametrica con? ≠−3: (5 punti)
(?+3)?2 −2??+?−1 =0
determinare k in modo che:
a. le due radici reali concordi; c. le radici abbiano somma 1;
b. una radice sia uguale a -1; d. la somma dei quadrati delle radici sia uguale a 2.
Grazie
1
punto
Livello 0
a) Per la regola di cartesio le soluzioni sono concordi se sono presenti due variazioni: ciò richiede che
k+3>0 -> k>-3
-2k<0 -> k>0
k-1>0 -> k>1
e quindi, complessivamente, che k>1;
oppure
k+3<0 -> k<-3
-2k>0 -> k<0
k-1<0 -> k<1
e quindi complessivamente, che k<-3.
Osservando che il discriminante dell'equazione è
delta=4k^2-4(k+3)(k-1)=4k^2-4(k^2+3k-k-3)=4k^2-4k^2-8k+12=-8k+12
e che le soluzioni reali si ottengono per -8k+12>=0 risulta 8k<=12, k<=12/8 e k<=4/3.
Quindi per k<-3 o 1<k<=4/3 si hanno soluzioni reali concordi.
582
punti
Livello 2
b) sostituendo x=-1 nell'equazione si ha
k+3+2k+k-1=0, da cui 4k+2=0 e k=-2/4=-1/2
582
punti
Livello 2
c) la somma delle radici è data da x1+x2=-b/a
Poichè b=-2k e a=k+3 si ha
2k/(k+3)=1
da cui (con k<>-3)
2k=k+3
k=3
582
punti
Livello 2
d) la somma dei quadrati delle radici x1^2+x2^2=(x1+x2)^2-2*x1*x2
Poichè x1+x2=-b/a e x1*x2=c/a si ha
x1^2+x2^2=(-b/a)^2-2*c/a=[2k/(k+3)]^2-2*[(k-1)/(k+3)]
Dunque
[2k/(k+3)]^2-2*[(k-1)/(k+3)]=2
4k^2/(k+3)^2-2*[(k-1)/(k+3)]=2
4k^2-2*(k-1)*(k+3)=2*(k+3)^2
4k^2-2*(k^2-k+3k-3)=2*(k^2+6k+9)
4k^2-2k^2-4k+6=2k^2+12k+18
-4k+6=12k+18
-16k=12
k=-12/16=-3/4
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punti
Livello 2