$$
(k+2) x^2-2 k x-(k-3)=0 \text {, con } k \neq-2 \text {; }
$$
a. le radici sono discordi;
d. $\left|x_1-x_2\right|=6$;
b. una radice è nulla;
e. le radici sono negative.
c. il prodotto delle radici è uguale al doppio della loro somma;
Non mi escono gli ultimi due punti: d) e e)
Grazie.
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Livello 6
@anna-supermath Grazie mille Anna. Dopo tanto ho capito come si fa. Le uniche 2 cose che non ho capito sono: 1) perché l equazione abbia soluzioni reali ∆≥0 , cioè (k-2)(2k+3)≥0, allora k≥2 e k≥-3/2 Perché secondo te k≤-3/2 ???
2) Il punto e) dice le radici sono negative.
Quindi il prodotto delle radici è positivo e la somma è negativa - b/a<0 e quindi 2k/k+2<0, perché tu hai messo 2k>0 e k+2>0. ???
Grazie ancora.
Rispondo in ordine alle domande
1) la disequazione di secondo grado che hai scritto ha soluzione per valori delle X esterne all’intervallo individuato da 2 e -3/2 (vedi calcolo allegato);
2) li studio positivi è una volta fatto il grafico dei segni, scelgo l’intervallo in cui è negativo.
Se guardi il grafico dei segni, come soluzione ho scelto l’intervallo in cui (2k)/(k+2) è minore di zero.
@anna-supermath Adesso ho capito tutto. Sei fantastica! Mi hai aiutato davvero. Grazie e buona giornata.
👍🏻👋🏻😃
Esame dell'equazione
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Il sistema proposto
759) ((k + 2)*x^2 - 2*k*x - (k - 3) = 0) & (k != - 2)
equivale all'equazione monica
* x^2 - (2*k/(k + 2))*x - (k - 3)/(k + 2) = (x - X1)*(x - X2) = 0
che, con
* s = X1 + X2 = 2*k/(k + 2)
* p = X1 * X2 = - (k - 3)/(k + 2)
ha discriminante
* Δ = s^2 − 4*p = 8*(k + 3/2)*(k - 2)/(k + 2)^2
e radici
* X1 = (s - √Δ)/2 = k/(k + 2) - √((2*k^2 - k - 6)/(k + 2)^2)
* X2 = (s + √Δ)/2 = k/(k + 2) + √((2*k^2 - k - 6)/(k + 2)^2)
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* Δ < 0 ≡ - 3/2 < k < 2
* Δ = 0 ≡ (k = - 3/2) oppure (k = 2)
* Δ > 0 ≡ (k < - 2) oppure (- 2 < k < - 3/2) oppure (k > 2)
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Risposte ai quesiti
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a) "le radici sono discordi" ≡ p < 0 ≡ - (k - 3)/(k + 2) < 0 ≡ (k < - 2) oppure (k > 3)
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b) "una radice è nulla" ≡ 0^2 - (2*k/(k + 2))*0 + (k - 3)/(k + 2) = 0 ≡ k = 3
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c) "il prodotto delle radici è uguale al doppio della loro somma" ≡ p = 2*s ≡
≡ - (k - 3)/(k + 2) = 2*2*k/(k + 2) ≡ k = 3/5
NOTA #1
Il risultato atteso (k ∈ R) è clamorosamente errato, per due ottimi motivi:
1) 3/5 ∈ R è incontrovertibile;
2) 3/5 ∈ (- 3/2, 2), dove Δ < 0 e quindi le radici sono complesse coniugate, è un fatto che con la realtà di "k = 3/5" c'entra come i cavoli a merenda.
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d) "|X1 - X2| = 6" ≡
≡ |k/(k + 2) + √((2*k^2 - k - 6)/(k + 2)^2) - (k/(k + 2) - √((2*k^2 - k - 6)/(k + 2)^2))| = 6 ≡
≡ √((2*k^2 - k - 6)/(k + 2)^2) = 3 ≡
≡ k = (- 37 ± √193)/14
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e) "le radici sono negative" ≡ X2 < 0 ≡ k/(k + 2) - √((2*k^2 - k - 6)/(k + 2)^2) < 0 ≡
≡ (k < - 2) oppure (- 2 < k <= - 3/2) oppure (k > 3)
NOTA #2
Anche qui il risultato atteso è clamorosamente errato, ma qui non riesco nemmeno a immaginare la fonte dell'equivoco.
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