Equazioni NON omogenee

-) Equazione differenziale. y" + 2y' = 2x-4

•  Omogenea associata. y" + 2y' = 0
•  Polinomio caratteristico.  $ λ^2 + 2λ = λ(λ+2) = 0 $
• Radici polinomio caratteristico. $λ_1 = 0 \; \lor \; λ_2 = -2;  $  due radici reali distinte
•  Soluzione generale dell'omogenea. $ y(x) = c_1 + c_2 e^{-2x} $ 

• Soluzione particolare. La funzione candidata è $ \bar{y}(x) = Ax+B $ con A numero reale. Notiamo che 2x-4 è una soluzione dell'omogenea quindi la forma da considerare sarà
  • $ \bar{y}(x) = x(Ax+B)  \; ⇒ \; \bar{y}(x) = Ax^2 + Bx $

In questo caso le sue derivate sono:

• • $ \bar{y}'(x) = 2Ax+B $
  • $ \bar{y}$''$(x) = 2A $

Introducendo i valori nell'equazione differenziale

$ 2A+4Ax+2B = 2x - 4  \; ⇒ \;  A = \frac{1}{2} \; \land \ B = -\frac{5}{2}$

•  
  • Una soluzione particolare è così $ \bar{y}(x) = \frac{x^2}{2} -  \frac{5x}{2}$.

• Soluzione generale equazione differenziale non omogenea. $ y(x) = c_1 + c_2 e^{-2x} + \frac{x^2}{2} -  \frac{5x}{2}$