Equazioni logaritmiche risolvibili solo graficamente

@yuki

Ciao. Intanto devi fare il confronto grafico fra le due funzioni rappresentate ai due membri

che indicano chiaramente una sola radice 1<x<2.

Poi suggerirei il metodo di Newton per la risoluzione dell'equazione:

LN(x) + x^2 - 4 = 0

Quindi chiamo: y = LN(x) + x^2 - 4 ed  y'=dy/dx=2·x + 1/x

osservo che:

y = LN(1) + 1^2 - 4  = -3

y = LN(2) + 2^2 - 4 = LN(2)

Formula iterativa del metodo: X(n+1) = X(n) - y/y'

y/y' con tale rapporto valutato in X(n)

Quindi pongo X(0)=2

X(1)= 2 - (LN(2) + 2^2 - 4)/(2·2 + 1/2) = 1.845967293

X(2) =1.841101837

X(3)=1.841097058

quindi approssimativamente la radice è: 1,841

Analogamente per l'altra equazione.

Interpretazione grafica del Metodo delle tangenti:

Al tuo livello di conoscenza si possono solo intersecare due grafici e leggere la soluzione approssimata

y = ln x

y = 4 - x^2

 

x > 0

https://www.desmos.com/calculator/zj0gn7mteo

https://www.desmos.com/calculator/0zxssbyevr

 

per il raffinamento, una volta identificata la radice, servirebbe un metodo numerico ricorsivo ( le tangenti )

 

Io inizierei dal chiarirmi le idee sulla definizione: un'equazione si qualifica come logaritmica se e solo se l'incognita compare esclusivamente nella base e/o nell'argomento di uno o più logaritmi: qui compare anche come base di potenza, perciò queste equazioni, pur essendo trascendenti, non sono logaritmiche.
Come se non bastasse non sono nemmeno "risolubili solo graficamente" perché i metodi grafici servono esclusivamente ad isolare, in modo meno oneroso che per tentativi, le radici che poi, una volta isolate, si possono raffinare ad libitum con metodi numerici.
La sola cosa che si può dire di queste equazioni è che non se ne può dare soluzione simbolica nei termini di sole funzioni elementari.
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A) Massaggio rilassante (preanalisi della situazione)
1) ln(x) = 4 - x^2 ≡ (y = ln(x)) & (y = 4 - x^2)
2) ln(x + 3) + x = 10 ≡ ln(x + 3) = 10 - x - 3 + 3 ≡ ln(x + 3) = 13 - (x + 3) ≡
≡ ln(u) = 13 - u ≡
≡ (y = ln(u)) & (y = 13 - u)
con ciò entrambe le equazioni si sono ricondotte alla forma di un sistema composto da un'equazione trascendente semplice e un'equazione razionale (nello specifico, una di retta e una di parabola).
Le radici dell'equazione originale si ricavano dalle soluzioni del sistema equivalente cioè, limitatamente alle radici reali, dalle intersezioni dei grafici.
Il grafico di y = ln(variabile v reale) è crescente per ogni valore v > 0.
I grafici di y = (costante c reale positiva) - v^(uno o due) sono decrescenti per ogni v > 0.
Quindi entrambi i sistemi devono avere una soluzione e ne hanno una sola all'unica intersezione fra una curva crescente e una decrescente sull'intero insieme di definizione reale.
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B) Fisioterapia riabilitativa (calcoli risolutivi)
Assodato che c'è un'intersezione nel semipiano destro e che è unica, la strategia per isolarla è banale: scoprire dove s'inverte il segno della differenza fra logaritmo e polinomio, cioè il segno di
1) f(x) = ln(x) + x^2 - 4
2) g(x) = ln(x) + x - 13 (qui x sta per u, vedrai il motivo)
esplorando la semiretta x >= 1, p.es. con la strategia del raddoppio (1, 2, 4, 8, ...).
Una volta isolata l'intersezione all'ascissa X (0 < a < X < b) si aumentano le cifre significative di X restringendo l'intervallo (b - a) di separazione, p.es. con la strategia del dimezzamento.
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B1) Isolare
Le prime terne {k, f(k), g(k)} sono
{ 1, - 3.000, - 12.00},
{ 2, 0.6931, - 10.31},
{ 4, 13.39, - 7.614},
{ 8, 62.08, - 2.921},
{16, 254.8, 5.773}, ...
da cui si rilevano le inversioni di segno che isolano la radice
1) f(x): 2^0 < X < 2^1
2) g(x): 2^3 < X < 2^4
Vedi al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=table%5B%7B2%5En%2CN%5Bln%282%5En%29%2B%282%5En%29%5E2-4%2C4%5D%2CN%5Bln%282%5En%29%2B2%5En-13%2C4%5D%7D%2C%7Bn%2C0%2C4%7D%5D
Con lo stesso valutatore software si porta a uno anche il secondo intervallo di separazione
1) f(x): 1 < X < 2 ≡ f(1) = - 3 < f(X) < 0.6931 = f(2) ≡ X ~= 1.5
2) g(x): 10 < X < 11 ≡ f(10) = - 0.6974 < f(X) < 0.3979 = f(11) ≡ X ~= 10.5
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B2) Raffinare
Precondizione: (f(a) < f(X) < f(b)) & (f(a)*f(b) < 0)
1) calcolare m = (a + b)/2 ed f(m)
2) se f(m) = 0: terminare, m è la radice esatta.
3) se f(m) è concorde ad f(a): porre a = m; proseguire da 5.
4) se f(m) è concorde ad f(b): porre b = m.
5) se b - a > della precisione richiesta: proseguire da 1.
6) X ~= (a + b)/2 è l'approssimazione della radice.
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B3) Presentare i risultati al centesimo
1) ln(x) = 4 - x^2 ≡ X ~= 1.84
2) ln(x + 3) + x = 10 ≡ X ~= 7.64