[Risolto] Equazioni goniometriche

SIN(4·x) - COS(4·x) - 1 = 0

riscrivo:

SIN(α) - COS(α) - 1 = 0

e la risolvo con le equazioni parametriche:

t = TAN(α/2)

SIN(α) = 2·t/(1 + t^2)

COS(α) = (1 - t^2)/(1 + t^2)

Con tale metodo bisogna precisare una cosa:

" Prima di procedere con le sostituzioni dobbiamo tenere conte che tali formule sono soggette a restrizioni legate alla condizione di esistenza di esse che restringerebbero lil C.E. delle soluzioni dell'equazione lineare assegnata in seno e coseno che dovrebbero valere in tutto R"

Infatti le C.E. che consentono di applicare le formule parametriche sono date da:

α/2 ≠ pi/2 + k·pi----> α ≠ pi + 2·k·pi

Quindi dovremo verificare se α = pi è una soluzione lineare in SENO e COSENO : in caso affermativo dovremo aggiungere le soluzioni α = pi + 2·k·pi a quelle eventualmente ottenute con le formule parametriche!!

Quindi: SIN(pi) - COS(pi) - 1 = 0----> 0 = 0

ed è appunto il nostro caso!!! (la soluzione che non potevi ottenere!!)

Quindi procediamo con le formule parametriche:

2·t/(1 + t^2) - (1 - t^2)/(1 + t^2) - 1 = 0

(2·t - 2)/(t^2 + 1) = 0----> t = 1

TAN(α/2) = 1-----> α = pi/2

Generalizzando con l'equazione data lineare valgono le soluzioni:

α = pi/2 + 2·k·pi

4·x = pi/2 + 2·k·pi----->x =  pi/8 + k·pi/2

a cui devi aggiungere: 4x =pi/2+2kpi

x = pi/4 + k·pi/2

(che ti eri dimenticato!!!)

Fase uno: algebra
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Con
* (s = sin(4*x)) & (c = cos(4*x)) & (c^2 + s^2 = 1)
si ha
* sin(4*x) - cos(4*x) - 1 = 0 ≡
≡ (s = c + 1) & (c^2 + s^2 = 1) ≡
≡ (s = c + 1) & (c^2 + (c + 1)^2 = 1) ≡
≡ (s = c + 1) & ((c = - 1) oppure (c = 0)) ≡
≡ (s = c + 1) & (c = - 1) oppure (s = c + 1) & (c = 0) ≡
≡ (s = 0) & (c = - 1) oppure (s = 1) & (c = 0) ≡
≡ (sin(4*x) = 0) & (cos(4*x) = - 1) oppure (sin(4*x) = 1) & (cos(4*x) = 0)
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Fase due: goniometria
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Le funzioni sin(4*x) e cos(4*x) hanno periodo π/2, quindi basta calcolare le radici nel primo quadrante (0 <= x <= π/2) e poi aggiungere la periodicità.
Con
* x = u/4 ≡ u = 4*x ≡ (0 <= u <= 2*π)
si ha
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* (sin(4*x) = 0) & (cos(4*x) = - 1) & (0 <= x <= π/2) ≡
≡ (sin(u) = 0) & (cos(u) = - 1) & (0 <= u <= 2*π) ≡
≡ u = π ≡
≡ 4*x = π ≡ x = π/4 (± k*π/2)
--------
* (sin(4*x) = 1) & (cos(4*x) = 0) & (0 <= x <= π/2) ≡
≡ (sin(u) = 1) & (cos(u) = 0) & (0 <= u <= 2*π) ≡
≡ u = π/2 ≡
≡ 4*x = π/2 ≡ x = π/8 (± k*π/2)