[Risolto] Equazioni fratte di secondo grado

Come ti comprendo, cara Ilaria!
Io ho 81 anni abbondanti, ho cominciato a sbagliare i segni settant'anni addietro e ancora non mi è passata; per tenere il fenomeno almeno un po' sotto controllo ho sviluppato un rituale che, se osservato scrupolosamente, attira l'attenzione e ostacola la mia innata tendenza a distrarmi. Te lo illustro applicandolo al tuo esempio: potrebbe anche esserti utile.
ATTENZIONE: come tutti i rituali, è palloso!
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Ogni volta che sono di fronte a un'equazione
* (2*x - 1)/x = 2/(x + 1)
le prima cosa che mi chiedo è se sia definita per ogni valore della variabile.
Se sì, passo oltre.
Se no, mi scrivo esplicitamente che quell'espressione SEMBRA un'equazione, ma di fatto è un sistema
* ((2*x - 1)/x = 2/(x + 1)) & (x != - 1) & (x != 0)
Si tratta della tua annotazione "C.E." messa da parte; io invece me la porto dietro come antidistrazione.
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Subito dopo cerco di arrivare alla forma normale canonica (espressione = 0).
Nell'esempio: sottrarre membro a membro il secondo membro; moltiplicare membro a membro per il prodotto dei denominatori (lècito, avendo escluso i valori illegali); sviluppare, commutare, ridurre; dividere membro a membro per il coefficiente direttore.
* ((2*x - 1)/x = 2/(x + 1)) & (x != - 1) & (x != 0) ≡
≡ ((2*x - 1)/x - 2/(x + 1) = 0) & (x != - 1) & (x != 0) ≡
≡ ((2*x - 1)*x*(x + 1)/x - 2*x*(x + 1)/(x + 1) = 0) & (x != - 1) & (x != 0) ≡
≡ ((2*x - 1)*(x + 1) - 2*x = 0) & (x != - 1) & (x != 0) ≡
≡ (2*x*(x + 1) - 1*(x + 1) - 2*x = 0) & (x != - 1) & (x != 0) ≡
≡ (2*x*x + 2*x*1 - 1*x - 1*1 - 2*x = 0) & (x != - 1) & (x != 0) ≡
≡ (2*x^2 - x - 1 = 0) & (x != - 1) & (x != 0) ≡
≡ (x^2 - x/2 - 1/2 = 0) & (x != - 1) & (x != 0)
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Se riesco a ottenere una forma normale canonica che riconosco appartenente a una categoria nota, applico qualche procedura risolutiva codificata per la categoria.
Se non si riconosce la forma ottenuta, si ricorre a metodi grafico-numerici.
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Qui con
* s = + 1/2
* p = - 1/2
si riconosce la categoria di equazioni "trinomio quadratico monico = 0"
* T(x) = x^2 - s*x + p = (x - X1)*(x - X2) = 0
che si risolve con la procedura che Bramegupta pubblicò nel VII secolo e che, nei libri di testo, è data in forma abbreviata e priva di giustificazione.
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Versione abbreviata
Calcolare il discriminante
* Δ = s^2 − 4*p = (1/2)^2 − 4*(- 1/2) = 9/4
Calcolarne la radice quadrata
* √Δ = √(s^2 − 4*p) = 3/2
Calcolare le radici di T(x) = 0
* X1 = (s - √Δ)/2 = (1/2 - 3/2)/2 = - 1/2
* X2 = (s + √Δ)/2 = (1/2 + 3/2)/2 = 1
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Versione originale (con giustificazione)
Completare il quadrato dei termini variabili
* (x^2 - x/2 - 1/2 = 0) & (x != - 1) & (x != 0) ≡
≡ ((x - 1/4)^2 - (1/4)^2 - 1/2 = 0) & (x != - 1) & (x != 0)
Isolare il quadrato di binomio
* ((x - 1/4)^2 - (1/4)^2 - 1/2 = 0) & (x != - 1) & (x != 0) ≡
≡ ((x - 1/4)^2 = 9/16) & (x != - 1) & (x != 0)
Estrarre membro a membro la radice quadrata
* ((x - 1/4)^2 = 9/16) & (x != - 1) & (x != 0) ≡
≡ (x - 1/4 = ± 3/4) & (x != - 1) & (x != 0)
Isolare l'incognita; distinguere le radici; sviluppare le intersezioni
* (x - 1/4 = ± 3/4) & (x != - 1) & (x != 0) ≡
≡ (x = 1/4 ± 3/4) & (x != - 1) & (x != 0) ≡
≡ ((x = 1/4 - 3/4) oppure (x = 1/4 + 3/4)) & (x != - 1) & (x != 0) ≡
≡ ((x = - 1/2) oppure (x = 1)) & (x != - 1) & (x != 0) ≡
≡ (x = - 1/2) & (x != - 1) & (x != 0) oppure (x = 1) & (x != - 1) & (x != 0) ≡
≡ (x = - 1/2) oppure (x = 1)

È corretto fino alla riduzione del denominatore, quando calcoli il Delta controlla bene i calcoli dovrebbe vernare Delta=1+8=9 cioè due radici distinte e applichi bene la formula troverai 1 e 1/2

È corretto fino alla riduzione del denominatore, quando calcoli il Delta controlla bene i calcoli dovrebbe venire Delta=1+8=9 quindi Delta>0 cioè due radici distinte e applichi bene la formula troverai 1 e -1/2