Equazioni esponenziali

@Beppe 

Ciao Beppe, 

 Se hai dubbi sui miei procedimenti fammi sapere! Dovrebbe essere tutti. 

Es c) 

3*5^(x) + 5* 5^(x) = 8*5³

8* 5^(x) = 8* 5^(3)

x=3

 

Es d) 

6 * 3^(x+2) + 64 * 2^(x-2) = 5* 3^(x+3) 

6*3^(x) *9 + 64*2^(x)*(1/4)=5*27*3^(x)

81*3^(x) = 16*2^(x)

81/16 = (2/3)^(x)

81/16 = (3/2)^( - x) 

x= - 4

 

Es f) 

3^x+1/2 - 3^x = 9 (rad 3 -1)

rad(3)*3^(x) - 3^(x) = 3² * (rad3 - 1)

(rad3 - 1)*3^(x) = (rad3 - 1)* 3²

 

 

Es h) 

3^(2-x) + 3^(3-x) = 12 

9*3^( - x) + 27*3^( - x) = 12

36*3^( - x) = 12

3^( - x) = 1/3

(1/3)^(x) = 1/3

x=1

 

ES m) 

Sono importanti le parentesi quando inserisci gli esponenti 

4^(2x - 1) - 4^(2x + 1) + 3*2^(4x) = - 3/2

4^(2x) * 1/4 - 4^(2x) * 4 + 3*4^(2x) = - 3/2

4^(2x) * [(1/4) - 4 + 3] = - 3/2

4^(2x) * (-3/4) = - (3/2)

 

Moltiplicando entrambi i termini per ( - 4/3), si ottiene:

 

4^(2x) = 2

2^(4x) = 2^(1)

4x=1  ==> x=1/4

 

Es I) 

4^x + (2^x)^2 - 2^2(x-2) = 124  

2^(2x) + 2^(2x) - 2^(2x) * (1/16) = 124

[1+1- (1/16)] *2^(2x) = 124

(31/16)*2^(2x) = 124

2^(2x) = 124*(16/31)

2^(2x) = 64 = 2^(6)

2x=6

x=3

 

Buona giornata.

Stefano 

Te ne posso svolgere una. Al massimo due.
Non di più, altrimenti vi mettete in testa di poterci assegnare tutti i compiti
delle vacanze, mentre voi non imparate nulla.

La mia scelta cade su e)

Scrivo correttamente le parentesi

2^x + 2^(x+1) = - 2^(x-1) + 7

applico le proprietà delle potenze

2^x + 2^x * 2 = - 2^x * 2^(-1) + 7

portato a sinistra il termine con x che sta a destra
raccolgo il fattore comune 2^x

2^x (1 + 2 + 1/2) = 7

e se ne deduce l'equazione elementare

2^x * 7/2 = 7

2^x = 2/7 * 7 = 2

2^x = 2^1

due potenze che hanno la stessa base sono uguali se gli esponenti sono uguali

x = 1

 

Eccezionalmente, risolvo anche b)

 

5*2^x + 2^(x-3) = 328

5*2^x + 2^x * 2^(-3) = 328

2^x * [ 5 + 1/8 ] = 328

2^x = 328 : (40 + 1)/8

2^x = 328*8/41 = 8*8

2^x = 64 = 2^6

da cui infine

x = 6.

Caro Beppe, visto che ormai siamo vecchi amici dopo che t'ho risposto a una quarantina d'esercizi, porgo io una domanda a te prima d'entrare nel merito della tua: se chiedi venerazione per la tua età di appena 63 anni (io continuai a fare sali e scendi per le scale del mio ITIS fino a 67: mi chiamavano in continuazione! Bei tempi ...) che dovrei fare io che ne ho venti di più? Chiedere l'inchino?
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Circa la tua domanda, oltre alla sovrabbondanza già rimproveratati da @StefanoPescetto e da @EidosM che non t'avevano riconosciuto, devo rammentarti che le espressioni algebriche non sono né disegnini né testo narrativo e che per scriverle in linea con un editor di testo ci sono convenzioni che risalgono al 1958. Si devono mettere TUTTI gli operatori e le parentesi, se no si dà luogo ad equivoci di lettura e possibili risposte sprecate.
In sintesi: LA STITICHEZZA PARENTETICA E OPERATORIA GENERA ESPRESSIONI EQUIVOCHE.
Tu chiedi "di specificare i passaggi"; ma, prima di quelli di calcolo,il primo passaggio è il riscrivere l'espressione in linea invece della scrittura fantasiosa evidenziando i possibili equivoci; poi, ovviamente, si possono calcolare solo le espressioni non equivoche cioè ben formate secondo una qualche sintassi ragionevole.
Perciò il mio primo aiuto è la riscrittura della tua sovrabbondanza, con qualche promemoria.
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Qui c'è la trascrizione di ciò che hai scritto di cui ho solo aggiustato l'apparenza mettendo fra quadratelli il valore della radice [x = ] e fra parentesi il tuo risultato atteso (r.a.: ...) che quasi sempre, come puoi vedere, c'entra come i cavoli a merenda.
Il motivo è nelle tue convinzioni sintattiche che non comprendono due punti fondamentali: primo che è indispensabile porre fra parentesi ogni subespressione; secondo che lo spazio non può avere, e di fatto non ha, alcun valore sintattico e lo si usa solo per migliorare la leggibilità: NON ATTENDERTI CHE METTERNE O NO INFLUISCA SUI SIGNIFICATI (quindi le stringhe marcate "f)", "g)" ed "l)" non costituiscono un'espressione).
Per controllare che la tua scrittura significhi ciò che intendi e non altro ti consiglio vivamente di sottoporla a WolframAlpha: se il paragrafo "Input" mostra ciò che intendi, tutto ok; altrimenti devi parentetizzare qualche subespressione e/o esplicitare qualche operatore (di solito "* asterisco" di moltiplicazione e/o "^ caret" di esponenziazione).
Come esempio, sulla tua stringa marcata "m)", vedi al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=4%5E2x-1+-+4%5E2x+%2B+1+%2B+3+*+2%5E4x+%3D+-3%2F2
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a) 3*4^x + (7/4)*4^x = 19*√2 [x = 5/4] (r.a.: 5/4)
b) 5*2^x + 2^x - 3 = 328 [x = log(2, 331/6) ~= 5.7857] (r.a.: 6)
c) 3*5^x + 5^x + 1 = 8*5^3 [x = log(5, 999/4) ~= 3.43] (r.a.: 3)
d) 6*3^x + 2 + 64*2^x - 2 = 5*3^x + 3 [x ~= - 4.4] (r.a.: - 4)
e) 2^x + 2^x + 1 = - 2^x - 1 + 7 [x = log(2, 5/3) ~= 0.7] (r.a.: 1)
f) 3^x + 1/2 - 3^x = 9 (√3 - 1) [x = ???] (r.a.: 2)
g) (√2)^x + (√2)^x - 1 = 2 (√2 + 1) [x = ???] (r.a.: 3)
h) 3^2 - x + 3^3 - x = 12 [x = 12] (r.a.: 1)
i) 4^x + (2^x)^2 - 2^2*(x - 2) = 124 [x = - 29 oppure 3] (r.a.: 3)
l) 7^x + 49^x/2 = 2*√5 343 [x = ???] (r.a.: 3/5)
m) 4^2*x - 1 - 4^2*x + 1 + 3*2^4*x = - 3/2 [x = - 1/32] (r.a.: 1/4)
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SANARE GLI EQUIVOCI vuol dire scegliere arbitrariamente una delle 2^N versioni possibili in una stringa con N sospetti di operatore e/o coppia di parentesi rimasti nella tastiera:
* "9 (rad 3 -1)" cos'è? 9^(√3 - 1) o 9*(√3 - 1)?
* "2 (rad2 + 1)" cos'è? 2^(√2 + 1) o 2*(√2 + 1)?
* "2 * rad 5 343" cos'è? (2*√5)^343, (2*√5)*343 o 2*(√5)^343?
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PASSAGGI PER OTTENERE IL RISULTATO
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A) Procedura generale
Una volta che, con l'ausilio di WolframAlpha, avrai sanato gli equivoci vedrai che le espressioni ottenute consisteranno di termini T con la forma
* T = c*B^(m*x + q)
dove i coefficienti (m, q), se non sono zeri, sono interi (m > 0); e B può essere una potenza naturale di un numero primo b
* T = c*(b^k)^(m*x + q)
Questo termine si normalizza applicando le proprietà "potenza di potenza" e "prodotto di potenze"
* T = c*(b^k)^(m*x + q) =
= c*(b)^(k*(m*x + q)) =
= c*(b)^(k*m*x + k*q) =
= c*((b)^(k*q))*(b)^(k*m*x) =
= c*((b)^(k*q))*(b^x)^(k*m)
cioè il prodotto fra un unico coefficiente
* C = c*(b)^(k*q)
e un'unica potenza di base l'esponenziale semplice di un primo
* u = b^x
e di esponente un naturale
* n = k*m
cioè ancora
* T = c*((b)^(k*q))*(b^x)^(k*m) ≡ C*u^n
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A questo punto l'equazione esponenziale è diventata un'equazione razionale nella variabile u di grado N pari al massimo n, e quindi con N radici; per ciascuna radice r si forma un'equazione esponenziale elementare
* u = b^x = r ≡ x = log(b, r) = ln(r)/ln(b)
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B) Procedure semplificate per casi particolari
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B1) Se c'è un solo termine esponenziale e un termine noto potenza di b
* b^(h*x) = b^q ≡ h*x = q ≡ x = q/h
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B2) Se ci sono due termini esponenziali elementari di basi diverse
* m*B^x = n*C^x ≡ (B/C)^x = n/m ≡ x = log(B/C, n/m)