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Equazioni e numeri

  

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1) In un numero di due cifre la cifra delle unità supera di 5 quello delle decine. Se si divide il numero per la somma delle sue cifre, si ottiene per quoziente 3 e resto 5. Qual è il numero?

2) La differenza dei cubi di due numeri pari consecutivi è uguale alla somma tra 152 e il sestuplo del quadrato del numero minore. Quali sono i due numeri?

Giusto per un confronto, dato che sono state proposte soluzioni divergenti. Nella prima una delle soluzioni era usare la notazione decimale. Nella seconda mi sono state date indicazioni diverse su cosa considerare numero pari e numero dispari... 

Autore

tra l'altro la soluzione è 38 (che ho riscontrato), per cui è la cifra delle decine a superare di 5 quella delle unità, anziché come indicato dal testo. 

3 Risposte



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1) In un numero di due cifre la cifra delle unità supera di 5 quello delle decine. Se si divide il numero per la somma delle sue cifre, si ottiene per quoziente 3 e resto 5. Qual è il numero?

----------------------------------------------------

Il numero vale:

10·x + (x + 5) = 11·x + 5

La somma delle sue cifre vale:

x + (x + 5) = 2·x + 5

Scriviamo simbolicamente:

(11x+5) : (2x+5)=3

5

Quindi significa che:

3·(2·x + 5) + 5 = 11·x + 5

se la risolvi ottieni: x = 3

quindi il numero è 38

2) La differenza dei cubi di due numeri pari consecutivi è uguale alla somma tra 152 e il sestuplo del quadrato del numero minore. Quali sono i due numeri?

-----------------------------------------------------------

(2·x + 2)^3 - (2·x)^3 = 152 + 6·(2·x)^2

(8·x^3 + 24·x^2 + 24·x + 8) - 8·x^3 = 24·x^2 + 152

24·x - 144 = 0

x = 6

Quindi i due numeri pari sono 12 e 14

 

@lucianop    thanks Luciano

@salvonardyn

Di nulla. Buona serata.



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10 d + u é il numero con u = 5 + d

se dividiamo allora 10 d + 5 + d = 11d + 5

per d + u = d + 5 + d = 2d + 5

si ottiene quoziente 3 e resto 5

per cui 11d + 5 = 3(2d + 5) + 5

11d + 5 = 6d + 15 + 5

11d - 6d = 15

5d = 15

d = 3

u = 3 + 5 = 8

e il numero é 38

l'altro

(2k+2)^3 - (2k)^3 = 152 + 6(2k)^2

8(k^3 + 3k^2 + 3k + 1 - k^3) = 152 + 24 k^2

24 k^2 + 24 k + 8 = 24 k^2 + 152

24 k = 152 - 8

k = 144/24 = 6

per cui i due numeri sono 2k = 12 e 2k + 2 = 14

 

@eidosm   thank you



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Mi faresti un vero favore se pubblicassi un'aggiunta con un paio di link.
1) Alla STUPIDAGGINE delle "soluzioni divergenti": c'è scritto "quello delle decine" ed è ovvio che si tratti di "notazione decimale". Se ci fosse stato "quello delle cinquine" sarebbe stata "notazione quinaria", e così via. Qual che sia la base B di numerazione il numerale di B è sempre "10": la cifra d'ordine uno è quella delle "basine".
2) Alla CASTRONERIA delle "indicazioni diverse": è inammissibile, anche per un completo ignorante appena sceso dalla montagna del sapone, ignorare la definizione di parità.
La parità dei numeri naturali, cardinali, interi è il resto del loro dimezzamento: il resto zero individua i pari (p = 2*k); il resto uno individua i dispari (d = 2*k + 1).
NB: k è la metà di p e/o d, quindi del loro stesso tipo (N, N0, Z).
------------------------------
ESERCIZIO #1
Il numero da trovare sia
* x = 10*D + U
dove (D, U) sono le cifre decimali di (Decine, Unità): 0 <= D, U < 10.
"la cifra delle unità supera di 5 quello delle decine" ≡ U = D + 5
"Se si divide ... resto 5." ≡ x = 3*(D + U) + 5
Il sistema
* (U = D + 5) & (0 <= D < 10) & (0 <= U < 10) ≡
≡ (0 <= D < 5) & (U = D + 5)
dimezza lo spazio delle soluzioni ammissibili.
Il sistema
* (U = D + 5) & (x = 10*D + U) & (x = 3*(D + U) + 5) & (0 <= D < 5) ≡
≡ (U = D + 5) & (x = 10*D + D + 5) & (x = 3*(D + D + 5) + 5) & (0 <= D < 5) ≡
≡ (U = D + 5) & (x = 11*D + 5) & (x = 6*D + 20) & (0 <= D < 5) ≡
≡ (U = D + 5) & (D = 3) & (x = 38) ≡
≡ (D = 3) & (U = 8) & (x = 38)
risolve.
------------------------------
ESERCIZIO #2
"due numeri pari consecutivi" ≡ (2*k), (2*k + 2)
"La differenza dei cubi" ≡ (2*k + 2)^3 - (2*k)^3 = 8*(3*k^2 + 3*k + 1)
"la somma tra ... numero minore" ≡ 6*(2*k)^2 + 152 = 8*(3*k^2 + 19)
L'equazione risolvente è
* 8*(3*k^2 + 3*k + 1) = 8*(3*k^2 + 19) ≡
≡ (3*k^2 + 3*k + 1) - (3*k^2 + 19) = 0 ≡
≡ 3*(k - 6) = 0 ≡
≡ k = 6
da cui
* (2*k), (2*k + 2) = 12, 14

@exprof    letteralmente dal testo, Matematica Blu, vol. 1, prima ed. Zanichelli:  "scegliendo opportunamente un'incognita x, traduciamo le seguenti frasi, che compaiono molto spesso nei problemi"...   " Determina due numeri dispari o pari consecutivi..."  "Il primo numero si indica con x, il secondo con x+2". altri testi mi hanno indicato il numero dispari con 2x+1 e quello pari con 2x+2. Per questo chiedevo conferma a voi. In ogni caso, Stupidaggini, Castronerie: dall'alto della tua onniscienza, nessuno ti obbliga a rispondere alle mie domande. Oltretutto, trovo le tue spiegazioni inutilmente complesse, come se fossero dirette a un esperto tuo pari.  Personalmente, preferisco essere comprensivo e indulgente con chi non ha ancora raggiunto il mio livello nella mia specializzazione... Natura non facit saltus. Ma troppo spesso chi è arrivato alla cima si dimentica di quando era alle prime armi anche lui... E poi, prendo le comunicazioni in questo sito con vera leggerezza di spirito. La tua pesantezza è veramente fuori luogo...

@salvonardyn
caro amico di ∫σ∫
mi spiace d'averti causato irritazione e me ne scuso anche se è successo a mia insaputa. Io non ho nessuna intenzione d'irritare altri utenti verso i quali provo comunque gratitudine per il solo fatto che pubblicano domande in grado d'invogliarmi a rispondere: così distolgono da cose sgradevoli i miei pensieri, impegnandoli per parecchi minuti (e anche ore, in occasioni fortunate!) nel costruire una risposta che, oltre a chiarire il punto richiesto, lo inquadri nella categoria dei suoi simili.
Mi dispiace che di questo mio approccio tu dica
* "... trovo le tue spiegazioni inutilmente complesse ..."
* "La tua pesantezza è veramente fuori luogo ..."
ma, più che "mi dispiace", non ho nulla da dire su queste tue impressioni perché quello che per te è pesante, fuori luogo, complesso, utile lo sai solo tu.
Invece ho parecchio da dire su quelli che mi sembrano equivoci interpretativi su cui ti basi per mostrarti prevenuto nei miei confronti: non sei stato il primo ad essere vittima di quegli equivoci che poi hanno l'effetto di provocare contestazioni a chi risponde (ho avuto modo di leggere anche insulti verso responsori, per motivi diversi, ma sempre dovuti a equivoci interpretativi).
Tu citi e dici «"Il primo numero si indica con x, il secondo con x+2". altri testi mi hanno indicato il numero dispari con 2x+1 e quello pari con 2x+2. Per questo chiedevo conferma a voi.» cioè due fonti che dicono la stessa cosa e che tu, nella domanda, qualifichi come "indicazioni diverse". E' ovvio che diverse non sono e che quindi tu sei caduto in un equivoco interpretativo. Poi io ti chiedo il link «Alla CASTRONERIA delle "indicazioni diverse"» e tu t'offendi. Ma scusami: se fossero state diverse sarebbe stata una castroneria, e grossa pure! Cosa ho fatto di male nel dirlo? Come avrei dovuto sapere che erano eguali e che tu stessi "chiedendo conferma a noi" se tu non lo scrivi? Io posso rispondere e rispondo a ciò che scrivi, mica a ciò che pensavi mentre stavi scrivendo!
Nel tuo commento leggo anche altri due equivoci in cui sei caduto, ma questi non riguardano l'interpretazione dei testi di aritmetica.
UNO RIGUARDA LA STORIA DELLA SCIENZA.
La massima di Leibniz "Natura non facit saltus" lo portò alla creazione del calcolo differenziale (grande risultato matematico), ma anche a negare la possibilità che esistessero gli atomi (la cacciata di Anassagora da Atene è il peccato originale della nostra civiltà); fu anche usata decenni dopo da Linneo.
Nel 1700 la continuità dei fenomeni naturali era un dato ovvio e accettato.
Oggi, dopo tre secoli e mezzo, è un dato ovvio che la natura fa solo salti e che la continuità è solo un'illusione macrooscopica.
IL SECONDO RIGUARDA LA NATURA DEL SITO @SosMatematica
Secondo ciò che ne ho capito io questo non è un sito Domanda/Risposta com'era la buon'anima di Yahoo!Answers, ma è un sito di "discussioni" e chi pubblica un "Titolo" non sta ponendo una domanda, ma sta aprendo una discussione.
Scrivendo "nessuno ti obbliga a rispondere alle mie domande" tu ne stai negando tale natura: una volta pubblicata la domanda non è più tua, ma è appunto "pubblica" e perde la natura di domanda per assumere quella di innesco di discussione. Poi è vero che nessuno mi obbliga a intervenire nella discussione, ma è vero anche che nessuno (tranne ovviamente i gestori del sito) me lo può viietare e neppure sconsigliare.
Nel salutarti dopo questo po' po' di pappardella voglio sperare che i miei prossimi interventi nelle discussioni da te innescate, non ti provochino più reazioni d'intolleranza se vorrai tener presente il fatto che
IO RISPONDO A CIÒ CHE SCRIVI, NON A CIÒ CHE PENSI MENTRE SCRIVI

@exprof  dispiace anche a me se ho interpretato male la tua discussione, mi aveva dato l'impressione che fosse una 'forzatura'. Per me la comunicazione è essenziale, vitale, oserei dire, quindi... Con Natura non facit saltus, in letteratura, in senso figurato, si vuole intendere che il processo di apprendimento è necessariamente graduale, step by step, per la conformazione del nostro cervello, che, in quanto a genetica, è rimasto pressoché uguale a quello dell'Homo Sapiens (il "salto genetico" non c'è ancora stato: vedi per analogia fasi dello sviluppo psicofisico: infanzia, adolescenza, gioventù, ecc.). Nessuno nasce imparato, si dice, nessuno va direttamente all'università... "Guarda alla luna non al dito", non prendere alla lettera ciò che scrivo, ma cerca di afferrare ciò che voglio comunicarti, in questo modo sicuramente ci capiamo meglio... In altre parole, tu hai alle spalle una lunghissima gavetta nello studio matematico (diciamo che sei un adulto, per analogia con le fasi di cui sopra), mentre io sono ancora nella fase 'giovanile', e benché comprenda i tuoi ragionamenti, per via della mia età naturale, ho bisogno ancora di tanto allenamento per radicalizzare i miei apprendimenti in matematica. Per esempio, "Tu citi e dici «"Il primo numero si indica con x, il secondo con x+2". altri testi mi hanno indicato il numero dispari con 2x+1 e quello pari con 2x+2. Per questo chiedevo conferma a voi.» cioè due fonti che dicono la stessa cosa e che tu, nella domanda, qualifichi come "indicazioni diverse". E' ovvio che diverse non sono e che quindi tu sei caduto in un equivoco interpretativo". BENE, ma ancora non mi hai dato l'informazione che cercavo, cioè la spiegazione del perché dicono la stessa cosa, che è quello che mi serviva veramente... Anche per quanto riguarda il primo esercizio, con un pò di applicazione l'ho risolto senza ricorrere alla notazione decimale, con termini come x (1° cifra), x+5 o y+5 (2° cifra), e non mi permetto di esplicitarti il procedimento. 

Comunque, non serve a nulla serbare rancore, a buon rendere. 



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