[Risolto] Equazioni e disequazioni con più valori assoluti (due uguali)

Per come sono disposti, non c'é un procedimento veloce.

Consideri :

a) x - 1 >= 0     =>   x >= 1

|x + x - 1| + 3(x - 1) = x

|2x - 1| + 2x - 3 = 0

b) x - 1 < 0 =>  x < 1

|x - x + 1| + 3(1 - x) = x

1 + 3 - 3x = x

x + 3x = 4

4x = 4

x = 1   non accettabile perché abbiamo supposto x < 1

Torniamo quindi ad a)

se 2x - 1 >= 0 =>  x >= 1/2

2x - 1 + 2x - 3 = 0

4x = 1 + 3

x = 4/4 = 1

(questa volta é accettabile perché x >= 1 )

se invece 2x - 1 < 0 =>  x < 1/2

1 - 2x + 2x - 3 = 0

-2 = 0    => impossibile => non ci sono altre soluzioni

Conclusione : x = 1

Verifica

S = |1 + 0| + 3* 0 = 1

D = 1

@maurizio

Ciao. Come nel gioco degli scacchi, volendo vedere qualcosa di veloce, bisogna avere un buon colpo d'occhio ed in questo caso è possibile.

Si parte con l'osservare che:

{ABS(x - 1) = 1 - x

{x < 1

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Quindi l'equazione si semplifica: (tenendo presente x<1!)

ABS(x + (1 - x)) + 3·ABS(1 - x) = x

3·ABS(x - 1) + 1 = x---------> 3·(1 - x) = x - 1

3 - 3·x = x - 1-------> - 4·x = -4------> x = 1 (non accettabile: vedi sopra)

Quindi l'unica via possibile è quella di considerare:

{ABS(x - 1) = x - 1

{x ≥ 1

Nel qual caso:

{ABS(x + (x - 1)) + 3·(x - 1) = x

{x ≥ 1

Quindi:

{ABS(2·x - 1) + 3·(x - 1) = x

{x ≥ 1

Quindi si può liberare anche il secondo valore assoluto per x ≥ 1  (dovendo essere x>=1/2)

(2·x - 1) + 3·(x - 1) = x

5·x - 4 = x--------> 4x = 4-------> x=1

Valore accettabile per le condizioni poste (x ≥ 1) e pertanto soluzione della equazione data.

"Procedimento risolutivo veloce?" NESSUNO, I PROCEDIMENTI NON SI MUOVONO.
se invece ciò che avresti voluto chiedere è
"Procedimento risolutivo rapido?" NESSUNO, quello efficace è lento.
"Visto che ho due valori assoluti uguali ..." si può risparmiare un po' di dattilografia con una variabile ausiliaria
* u = |x - 1|
e scrivere
* |x + |x - 1|| + 3*|x - 1| = x ≡ |x + u| + 3*u = x ≡
≡ |x + u| = x - 3*u
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PROCEDIMENTO RISOLUTIVO
I diversi casi nelle dis/equazioni con i moduli abs(f(x)) o |f(x)| sono essenzialmente tre. Il trattamento vale in generale per ogni forma di funzione f(x).
Si deve avere presente che eliminare un modulo vuol dire sdoppiare la dis/equazione che lo conteneva in due altre di cui l'originale rappresentava o l'unione o l'intersezione.
a) |a| <= b ≡ (- b <= a <= b) ≡ (- b <= a) & (a <= b) [intersezione]
b) |a| = b ≡ (a = ± b) ≡ (a = - b) || (a = + b) [unione]
c) |a| >= b ≡ (a <= - b) || (b <= a) [unione]
e analoghe per le diseguaglianze strette.
Le dis/equazioni con più valori assoluti si trattano ripetendo il trattamento di un valore assoluto per volta con la sequenza {isolare, sdoppiare}.
Occorre riscrivere tutte le espressioni prima isolando un |modulo| in ciascuna, poi eliminandolo, e infine, prima di riciclare, cercando di sostituire tutte quelle ormai prive di |moduli| con la loro implicazione più stretta.
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NEL CASO IN ESAME
b) |x + u| = x - 3*u ≡
≡ (x + u = - (x - 3*u)) oppure (x + u = x - 3*u) ≡
≡ (u = x) oppure (u = 0) ≡
≡ (|x - 1| = x) oppure (|x - 1| = 0) ≡
≡ ((x - 1 = - x) oppure (x - 1 = x)) oppure (x = 1) ≡
≡ (x = 1/2) oppure (falso) oppure (x = 1) ≡
≡ (x = 1/2) oppure (x = 1)
SE&O