Equazioni differenziali, problemi

Per ora svolgo a) e b)

y' + y = x

Omogenea associata

y' = - y

dy/y = - dx

ln|y| = -x + C

y = Ce^(-x)

Metodo di somiglianza per l'integrale particolare

yp(x) = Mx + Q

M + Mx + Q = x identicamente

M = 1

M + Q = 0

Q = -M = -1

yP(x) = x -1

y(x) = Ce^(-x) + x - 1

b) y(0) = 0

0 = C + 0 - 1

C = 1

y*(x) = e^(-x) + x - 1

AGGIORNAMENTI 

c)

Il grafico é quello di una funzione sempre convessa

con asintoto obliquo y = x - 1 e con estremo relativo

nella radice di 1 - e^(-x) = 0 che é x = 0

Tale estremo é un minimo essendo y''(0) > 0, vale 0

ed é assoluto perché i limiti a x ->+-oo valgono entrambi

+oo come puoi riscontrare usando le note tecniche ed eventualmente

la gerarchia degli infiniti

https://www.desmos.com/calculator/qzbfhpthgx

d) l'area richiesta é 

S(a) = S_[0,a] [ e^(-x) + x - 1 - (x - 1) ] dx = S_[0,a] e^(-x) dx  =

= [ - e^(-x) ]_[0,a] = e^(-a) - (-1) = 1 - e^(-a) 

che é sempre crescente (legge di carica del condensatore) e tende asintoticamente 

a 1 per a->+oo.

Infine 

1 - e^(-a*) = 2/3 

e^(-a*) = 1 - 2/3 = 1/3 

e^a* = 3 

a* = ln 3