[Risolto] Equazioni differenziali non omogenee del secondo ordine

Troviamo prima di tutto le soluzioni dell'omogenea:

$\lambda^2 + 5 \lambda =0 \rightarrow \lambda(\lambda+5)=0$

otteniamo dunque le soluzioni distinte: $\lambda_1=0$ e $\lambda_2=-5$ da cui ricaviamo la soluzione:

$ y = c_1 e^{0x} + c_2 e^{-5x} = c_1 + c_2e^{-5x}$

Procediamo con l'equazione non omogenea attraverso il metodo di somiglianza.

Il termine noto è della forma:

$ f(x) = e^{\alpha x}[P(x)cos(\beta x)+Q(x)sin(\beta x)]$

in cui abbiamo $\alpha=-1$, $P(x)=0$, $Q(x)=4$ e $\beta = 2$.

Notiamo che la soluzione $\alpha + \beta i = -1 +2i$ non è soluzione dell'equazione omogenea.

Consideriamo pertanto una soluzione della forma:

$ y_0(x) = e^{\alpha x}[R(x)cos(\beta x)+S(x)sin(\beta x)]$

I polinomi $R(x)$ e $S(x)$ vanno scelti in modo che abbiano grado pari al massimo tra il grado di $P(x)$ e $Q(x)$. In questo caso avendo entrambi i polinomi di grado zero (sono costanti), prenderemo  $R(x)=a$ e $S(x)=b$, per cui abbiamo:

$ y_0(x) = e^{-x}[ a cos(2x)+b sin(2x)]$

Calcoliamo le derivate:

$ y_0 ' = -e^{-x}[acos(2x)+bsin(2x)] +e^{-x}[-2asin(2x) + 2bcos(2x)] $

$y_0'= e^{-x}[(-a+b)cos(2x)+(-b-2a)sin(2x)]$

e la seconda

$y_0 ^{(2)} = -e^{-x}[(-a+2b)cos(2x)+(-b-2a)sin(2x)] + e^{-x}[-2(-a+2b)sin(2x)+2(-b-2a)cos(2x)]$

$y_0 ^{(2)}= e^{-x}[-(3a+4b)cos(2x)+(4a-3b)sin(2x)]$

Sostituiamo le derivate nell'equazione di partenza, per determinare le costanti:

$e^{-x}[-(3a+4b)cos(2x)+(4a-3b)sin(2x)] + 5e^{-x}[(-a+b)cos(2x)+(-b-2a)sin(2x)] = 4e^{-x}sin(2x)$

Semplificando gli esponenziali e raccogliendo i termini simili otteniamo:

$(-3a-4b-5a+5b)cos(2x) + (4a-3b-5b-10a)sin(2x) = 4sin(2x)$

$(-8a+b)cos(2x) + (-6a-8b)sin(2x) = 4sin(2x)$

Uguagliando i coefficienti dei due membri otteniamo:

{$-8a+b = 0$

{$-6a-8b = 4$

da cui

{$ b = -16/35$

{$ a = -2/35$

Dunque la soluzione finale è:

$ y(x)=c_1 + c_2e^{-5x}+ e^{-x}[-2/35 cos(2x)-16/35 sin(2x)]$

(Sperando di aver fatto bene i calcoli...!)

Noemi

Prima di scomodarmi a evocare gli onerosi metodi di Hoene-Wroński e/o di Abel io un tentativo a intuito lo farei con
* y = a*(sin(2*x)/e^x + b*cos(2*x)/e^x)
* y' = - a*((2*b + 1)*sin(2*x) + (b - 2)*cos(2*x))/e^x
* y'' = - a*((3 - 4*b)*sin(2*x) + (3*b + 4)*cos(2*x))/e^x
da cui
* y'' + 5*y' =
= - a*((3 - 4*b)*sin(2*x) + (3*b + 4)*cos(2*x))/e^x - 5*a*((2*b + 1)*sin(2*x) + (b - 2)*cos(2*x))/e^x =
= - 2*a*((3*b + 4)*sin(2*x) + (4*b - 3)*cos(2*x))/e^x = 4*sin(2*x)/e^x
che, per b = 3/4, diventa
* - 2*a*((3*3/4 + 4)*sin(2*x) + (4*3/4 - 3)*cos(2*x))/e^x = 4*sin(2*x)/e^x ≡
≡ - 2*a*(25/4)*sin(2*x) = 4*sin(2*x)
che, per a = - 8/25, diventa
* - 2*(- 8/25)*(25/4)*sin(2*x) = 4*sin(2*x) ≡
≡ 4*sin(2*x) = 4*sin(2*x) ≡
≡ vero per ogni x
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Quindi
* y'' + 5*y' = 4*sin(2*x)/e^x ≡
≡ y = (- 8/25)*(sin(2*x)/e^x + (3/4)*cos(2*x)/e^x) ≡
≡ y = - (2/25)*(4*sin(2*x) + 3*cos(2*x))/e^x