Spiegare gentilmente i ragionamenti, i passaggi e argomentare.
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Livello 2
$ y' -\frac{1}{x} y = - \frac{1}{x^2} $
-) ODE lineare del 1° ordine a coefficienti variabili. Il metodo del fattore integrante ci fornisce la formula risolutiva.
$ y(x) = ce^{-A(x)} + e^{-A(x)} \int e^{A(t)} \cdot b(t) \, dt $
dove:
$ a(x) = -\frac{1}{x} $ cioè il coefficiente della y
$ A(x) = \int a(x) \, dx = - ln(x) $ Una primitiva di a(x)
$ b(x) = - \frac{1}{x^2}$ la componente non omogenea dell'equazione.
$ y(x) = ce^{ln(x)} + e^{ln(x)} \int e^{- ln(t)}(-\frac{1}{t^2}) \, dt $
$ y(x) = c \,x - x \int \frac{1}{t^3} \, dt $
$ y(x) = c \,x - x (- \frac{1}{2x^2}) $
$ y(x) = c \,x + \frac{1}{2x} $
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Livello 6