[Risolto] Equazioni differenziali

L’equazione si riscrive come segue

y’’-y’=1

L'equazione omogenea è 

y’’-y’ =0

il cui polinomio caratteristico è 

t^2-t=0, 

le cui soluzioni sono t=0 e t=1.

Avendo il polinomio caratteristico due soluzioni reali e distinte, l’omogenea ha soluzioni 

y0=c1 e^x+c2 e^0=c1 e^x+c2

Siccome t=0 è soluzione di molteplicità 1 del polinomio caratteristico, essendo la funzione al termine noto dell’equazione f(x)=1 un polinomio di grado 0, la soluzione particolare ha la forma yp=Ax, con A costante da determinare.

Osservando che yp’=A e che yp’’=0,

sostituendo yp nell’equazione risulta 

0-A=1, da cui A=-1.

La soluzione dell’equazione è 

y=y0+yp =c1 e^x+c2-x 

Se la forma è quella indicata si provi intanto che risolve l'equazione. Resta da vedere se la soluzione individuata sia l'unica.

Spero non ti dispiaccia se, scrivendo su tastiera solo caratteri ISO-ANSI, preferisco usare simboli monocarattere al posto dei tuoi doubleton "c1" e "c2".
«Verificare che
* y'' = y' + 1
ha soluzione generale
* y = a*e^x - x + b»
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VERIFICA
Derivando due volte la forma proposta
* y = a*e^x - x + b
si ha
* y' = a*e^x - 1
* y'' = a*e^x
da cui, ricomponendo l'equazione, si ottiene la richiesta identità
* y'' = y' + 1 ≡
≡ a*e^x = a*e^x - 1 + 1 ≡
≡ Vero

Se devi solo verificare che quella data sia la soluzione, per prima cosa devi calcolarti y' e y".

$y'=c_1e^x-1$ 

e

$y"=c_1e^x$

Adesso devi sostituire le espressioni di y' e y" nell'equazione differenziale di partenza:

$c_1e^x=(c_1e^x-1)+1$

È chiaro che l'equazione diventa un'identità 0=0, quindi hai appena verificato che la y data è effettivamente soluzione dell'equazione differenziale $y"=y'+1$

Se invece la devi calcolare, il procedimento è più lungo, ma si tratta comunque di una equazione differenziale lineare ordinaria a coefficienti costanti, quindi esiste un metodo standard (integrale generale + integrale particolare) per risolverla.