Equazioni differenziali

Ti posso dare qualche suggerimento, ma non é un problema da scuola superiore.

Posto y =/= 0

y' = x/y - y/x

Poni poi y/x = v

y = v x

y' = v' x + v

e sostituendo

 

v' x + v = 1/v - v

v' x = 1/v - 2v = (1 - 2v^2)/v

v dv/dx /(1 - 2v^2) = 1/x

4v dv /(2v^2 - 1) = - 4/x dx

ln |2v^2 - 1| + 4 ln |x| = C

 

ln | 2v^2 - 1 | x^4 = C

2v^2 - 1 = e^C/x^4  = C/x^4

da qui ricavi v e poi y = x*v

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Operativamente risulta

2v^2 - 1 = C/x4

2v^2 = 1 + C/x^4

v^2 = (x^4 + C)/(2x^4)

v = +- rad ((x^4 + C)/(2x^4))

y = +- x/x^2 rad((x^4 + C)/2)

y = +- rad(x^4 + C)/(x rad(2))

https://www.wolframalpha.com/input?i=y%27+%3D+%28x%5E2-y%5E2%29%2Fxy

Wolfram conferma che é corretto.