Equazioni di grado superiore al secondo

1/(x^2 + x - 2) ≥ 2/(x^2 - 1)

1/(x^2 + x - 2) - 2/(x^2 - 1) ≥ 0

1/((x - 1)·(x + 2)) - 2/((x + 1)·(x - 1)) ≥ 0

(1·(x + 1) - 2·(x + 2))/((x + 1)·(x - 1)·(x + 2)) ≥ 0

(-x - 3)/((x + 1)·(x - 1)·(x + 2)) ≥ 0

(x + 3)/((x + 1)·(1 - x)·(x + 2)) ≥ 0 (cambio segno numeratore e denominatore senza quindi modificare il segno della disequazione)

Segno N(x)

-----[-3]+++++++++++++++++++++>x

Segno D(x)

x+1>0------> x>-1

-------------------(-1)+++++++++++++++++>x

1-x>0-------> x<1

++++++++++++++++(1)--------------------->x

x+2>0------> x>-2

----------(-2)++++++++++++++++++++++>x

Quindi:

Segno N(x)

-----[-3]+++++++++++++++++++++>x

Segno D(x)

++++++++(-2)----(-1)+++(1)------------>x

Segno rapporto:

----[3]+++(-2)----(-1)+++(1)------------>x

soluzione:

-3 ≤ x < -2 ∨ -1 < x < 1

L'espressione
337) 1/(x^2 + x - 2) >= 2/(x^2 - 1) ≡
≡ 1/((x + 2)*(x - 1)) >= 2/((x + 1)*(x - 1))
è definita se e solo se nessun denominatore s'azzera, cioè se
* x non in {- 2, - 1, 1}
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Esclusi tali valori, cioè aggiungendo ai risultati finali la clausola "& (x non in {- 2, - 1, 1})", si procede sottraendo membro a membro il primo membro e semplificando fino alla forma
* f(x) = N(x)/D(x) ◦ 0
dove "◦" è un operatore relazionale in {<, <=, =, !=, <>, >=, >}.
337) 1/(x^2 + x - 2) >= 2/(x^2 - 1) ≡
≡ 1/((x + 2)*(x - 1)) >= 2/((x + 1)*(x - 1)) ≡
≡ 2/((x + 1)*(x - 1)) - 1/((x + 2)*(x - 1)) <= 0 ≡
≡ f(x) = (x + 3)/((x + 2)*(x + 1)*(x - 1)) <= 0
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Già sapendo di dover escludere gli zeri del denominatore, il segno della funzione razionale fratta è lo stesso del polinomio p(x) ottenuto dal prodotto dei suoi termini
* f(x) = (x + 3)/((x + 2)*(x + 1)*(x - 1)) <= 0 ≡
≡ p(x) = (x + 3)*(x + 2)*(x + 1)*(x - 1) <= 0
e, avendo solo zeri semplici e valutato p(0) = - 6 < 0, si danno segni alterni agl'intervalli adiacenti
* - 1 < x < 1: p(x) < 0
* + 1 < x < ∞: p(x) > 0
* - 2 < x < - 1: p(x) > 0
* - 3 < x < - 2: p(x) < 0
* - ∞ < x < - 3: p(x) > 0
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CONCLUSIONE
337) 1/(x^2 + x - 2) >= 2/(x^2 - 1) ≡
≡ ((- 3 <= x <= - 2) oppure (- 1 <= x <= 1)) & (x non in {- 2, - 1, 1}) ≡
≡ (- 3 <= x < - 2) oppure (- 1 < x < 1)
CONTROPROVA nel paragrafo "Results" al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=solve+1%2F%28x%5E2--x-2%29%3E%3D2%2F%28x%5E2-1%29for+x+real