[Risolto] Equazioni di grado superiore al secondo, 2 anno, liceo scientifico

Con
* k = b + 1/(b - 1)
si ha
x91) ((b - 1)*x^3 - (b^2 - b + 1)*x^2 + (b^2 - b + 1)*x - b + 1 = 0) & (b != 1) ≡
≡ x^3 - ((b^2 - b + 1)/(b - 1))*x^2 + ((b^2 - b + 1)/(b - 1))*x - (b - 1)/(b - 1) = 0 ≡
≡ x^3 - (b + 1/(b - 1))*x^2 + (b + 1/(b - 1))*x - 1 = 0 ≡
≡ p(x, k) = x^3 - k*x^2 + k*x - 1 = 0
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Sui divisori del termine noto si ha
* p(- 1, k) = (- 1)^3 - k*(- 1)^2 + k*(- 1) - 1 = - 2*(k + 1) != 0
* p(+ 1, k) = 1^3 - k*1^2 + k*1 - 1 = 0
quindi
* p(x, k) = x^3 - k*x^2 + k*x - 1 = (x - 1)*(x^2 - (k - 1)*x + 1)
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Resta da scomporre il quoto
* q(x, k) = x^2 - (k - 1)*x + 1 = 0 ≡
≡ (x - (k - 1)/2)^2 - ((k - 1)/2)^2 + 1 = 0 ≡
≡ (x - (k - 1)/2)^2 = (k + 1)*(k - 3)/4 ≡
≡ x - (k - 1)/2 = ± √((k + 1)*(k - 3))/2 ≡
≡ x = ((k - 1) ± √((k + 1)*(k - 3)))/2 ≡
≡ x = ((b + 1/(b - 1) - 1) ± √((b + 1/(b - 1) + 1)*(b + 1/(b - 1) - 3)))/2 ≡
≡ x = ((b^2 - 2*b + 2)/(b - 1) ± (b^2 - 2*b)/(b - 1))/2 ≡
≡ x = ((b^2 - 2*b + 2) ± (b^2 - 2*b))/(2*(b - 1)) ≡
≡ x = ((b^2 - 2*b + 2) - (b^2 - 2*b))/(2*(b - 1)) = 1/(b - 1)
oppure
≡ x = ((b^2 - 2*b + 2) + (b^2 - 2*b))/(2*(b - 1)) = (b - 1)

Devi usare prima il raccoglimento parziale.
(b-1)(x^3-1) - x(b^2-b+1)(x-1)=0

Poi la scomposizione di x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)

Quindi la tua equazione diventa:
(b-1)(x-1)(x^2+x+1) - x(b^2-b+1)(x-1)=0   

Poi raccogli (x-1) e diventa:
(x-1)[(b-1)(x^2+x+1) - x(b^2-b+1)]=0

la prima soluzione è quindi x=1

Quindi puoi passare a risolvere
(b-1)(x^2+x+1)-x(b^2-b+1)=0 che è un'equazione di secondo grado in x
il coefficiente di x^2 sarà (b-1)
il coefficiente di x sarà (b-1)-(b^2-b+1)=-b^2+2b-2
il termine noto sarà (b-1)

Non ho fatto i calcoli, ma con la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado (quella con il Delta, per intendersi) dovrebbero tornare le soluzioni richieste.