Equazioni del secondo ordine riconducibile al primo.

Problema:

Risolvi la seguente equazione differenziale:

$2xy''=y'$

Soluzione:

Si nota subito che $y=0$ è soluzione. Per determinare le altre si suppone $y \neq 0$.

Come al solito conviene portare tutte le y da un lato:

$\frac{y''}{y'}=\frac{1}{2x}$

Si suppone dunque che anche $y' \neq 0$.

Per ricondursi ad una equazione differenziale del primo ordine si pone $z=y'$:

$\frac{z'}{z}=\frac{1}{2x}$

Utilizzando il metodo per variabili separabili si ha:

$\int \frac{z'}{z}=\int \frac{1}{2x}$

$\ln|z|=\frac{\ln|x|}{2}+c$

$|z|=e^{\frac{\ln|x|}{2}+c}$

$|z|=\sqrt{|x|}e^{c}$

$z=\pm k\sqrt{|x|}$

Il $\pm$ viene assorbito: $z=k\sqrt{|x|}$

Per trovare la soluzione $y$ si deve ora integrare:

$\int y'=\int k\sqrt{|x|}$

$y=k \frac{2x\sqrt{x}}{3}+c$

Il $\frac{2}{3}$ viene assorbito, si ha dunque che le soluzioni sono:

$y=0, y=c_1x\sqrt{x}+c_2$

Poniamo z = y'  per cui l'equazione si riduce a una ODE a variabili separabili

$ 2x \,z' = z $

1. Separiamo le variabili

$ \frac{dz}{z} = \frac{dx}{2x} $

2. Integriamo

$ ln(z) = \frac{1}{2} ln(x) + c_1 = ln(\sqrt{x}) + c_1 $

3. Esplicitiamo la funzione z(x) applicando l'esponenziale ad ambo i membri

$ z(x) = c_1\, \sqrt{x} $

Ritorniamo alla variabile originaria integrando z(x)

$ y(x) = \int z(x) \, dx = c_1 \int \sqrt{x} \, dx = c_1 \frac{2}{3} x\sqrt{x} + c_2 $

$ y(x) = c_1 x\sqrt{x} + c_2 $