Equazione parametrica

Question

Buona serata a tutti; vado a postare l'equazione parametrica n. 193 che ho risolto in tutti i suoi punti, ma, essendo priva di risposte, avrei piacere di sapere se ho operato correttamente. Pertanto, chiedo, come sempre il vostro gentile aiuto per il quale vi ringrazio anticipatamente.

$(k+2) x^2-2 k x+k-3=0$, con $k \neq-2$;
a. le soluzioni sono reali;
b. le radici sono concordi;
c. una soluzione è uguale a -3 ;
d. la somma delle soluzioni è uguale a quella dei loro reciproci.
$(k-3) x^2-2(k+1) x+k=0$, con $k \neq 3$;
a. Le soluzioni sono reali;
b. La somma delle radici è positiva;
il prodotto delle radici è uguale al triplo della loro somma; le radici sono discordi.

Autore

Risposta

Beppe

(@beppe)

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livello:

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427 4 690

26/07/2023 19:33

exProf · Accepted Answer

Il sistema proposto193) ((k + 2)*x^2 - 2*k*x + (k - 3) = 0) & (k != - 2)equivale all'equazione monica* x^2 - (2*k/(k + 2))*x + (k - 3)/(k + 2) = (x - X1)*(x - X2) = 0che, con* s = X1 + X2 = 2*k/(k + 2)* p = X1 * X2 = (k - 3)/(k + 2)ha discriminante* Δ = s^2 − 4*p = 4*(k + 6)/(k + 2)^2e radici* X1 = (s - √Δ)/2 = (k - √(k + 6))/(k + 2)* X2 = (s + √Δ)/2 = (k + √(k + 6))/(k + 2)tali che* 1/X1 + 1/X2 = 4*s/(s^2 - Δ) = 2*k/(k - 3)-----------------------------RISPOSTE AI QUESITI---------------a) Δ >= 0 ≡ 4*(k + 6)/(k + 2)^2 >= 0 ≡ (- 6 <= k < - 2) oppure (k > - 2)---------------b) p > 0 ≡ (k - 3)/(k + 2) > 0 ≡ (k < - 2) oppure (k > 3)---------------c) (X1 = - 3) oppure (X2 = - 3) ≡≡ ((k - √(k + 6))/(k + 2) = - 3) oppure ((k + √(k + 6))/(k + 2) = - 3) ≡≡ (k = - 15/16) oppure (insieme vuoto) ≡≡ k = - 15/16---------------d) X1 + X2 = 1/X1 + 1/X2 ≡≡ 2*k/(k + 2) = 2*k/(k - 3) ≡≡ k = 0

StefanoPescetto · Answer

Soluzioni reali: (D/4>=0) k² - (k-3)(k+2)>=0 => k>= - 6 Radici concordi (prodotto positivo, c/a>0) {(k-3)/(k+2)>0 {k>= - 6 -6<=k<-2 oppure k>3 Una radice è x= - 3 (per x=-3 l'equazione risulta identità) (k+2)*(-3)²+6k+k-3=0 k= - 15/16 Somma delle radici = somma dei reciproci (-b/a = - b/c) 2k/(k+2)=2k/(k-3) k=0 Osservazione: somma dei reciproci 1/x1 + 1/x2 = (x1+x2) /(x1*x2) = (-b/a) /(c/a) = - b/c Ciao @Beppe. Buona serata. Stefano

[Risolto] Equazione parametrica

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