PREMESSA
Se x assume solo valori reali allora tutt'e tre i moduli equivalgono a a radici quadrate di valori reali: |x + 1| = √((x + 1)^2); |x^2 - 1| = √((x^2 - 1)^2); |x - 1| = √((x - 1)^2).
Ne seguono un paio di sgradevoli osservazioni:
* qualcuno dei passaggi potrebbe equivalere a una quadratura inavvertita;
* per non ammattire di controlli strada facendo dovrò ricorrere a quella procedura finale che a te non piace (la verifica delle radici calcolate).
Come controllo informale farò calcolare da WolframAlpha le radici dell'equazione originale e di quelle derivanti dalle equivalenze; posporrò una noterella (Ok) a quelle espressioni che hanno le stesse radici della precedente, se non ne spunterà nessuna in più eviterò la verifica anti spurie.
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L'equazione
604) 2*(log(4, |x + 1|))^2 + log(4, |x^2 - 1|) + log(1/4, |x - 1|) - 1 = 0 (3 radici)
è indefinita solo in x = ± 1, dove due argomenti s'annullano.
Con la tua conversione di base si ha, successivamente,
* 2*(log(4, |x + 1|))^2 + log(4, |x^2 - 1|) - log(4, |x - 1|) - 1 = 0 (Ok, 3 r) ≡
≡ 2*(log(4, |x + 1|))^2 + log(4, |x^2 - 1|/|x - 1|) - 1 = 0 (Ok, 3 r) ≡
≡ 2*(log(4, |x + 1|))^2 + log(4, |x + 1|) - 1 = 0 (NON Ok, 4 r) ≡
≡ 2*u^2 + u - 1 = 0 ≡
≡ 2*(u + 1)*(u - 1/2) = 0 ≡
≡ (u = - 1) oppure (u = 1/2) ≡
≡ (log(4, |x + 1|) = - 1) oppure (log(4, |x + 1|) = 1/2) ≡
≡ (4^log(4, |x + 1|) = 4^(- 1)) oppure (4^log(4, |x + 1|) = 4^(1/2)) ≡
≡ (|x + 1| = 1/4) oppure (|x + 1| = 2) ≡
≡ (x = - 5/4) oppure (x = - 3/4) oppure (x = - 3) oppure (x = 1)
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Le tre radici negative sono quelle attese e calcolate da WolframAlpha; resta da dimostrare la spuriezza di x = 1 e lo si fa semplicemente cercandola (e trovandola!) fra i valori esclusi.
