MA COME! Proprio ieri sera t'ho spedito un mini-promemoria sulle equazioni logaritmiche dove ti facevo notare che «E' solo quando occorre che la funzione logaritmo abbia valori reali (p.es. nelle disequazioni con diseguaglianza d'ordine) che si deve usare la condizione "u > 0": ma un'equazione può benissimo essere soddisfatta da valori negativi della variabile.» e oggi, dopo nemmeno 24 ore, tu scrivi "e ciò non é possibile"? E meno male che m'avevi anche scritto che il promemoria t'era stato utile! Va bene, va ...
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L'equazione
502) (1/3)*log(b, 9*x + 8 - x^3) = log(b, 2 - x)
è definita se la base inespressa non è né zero né uno e se nessun argomento è zero, cioè se non lo è il loro prodotto
* x non in {(1 - √33)/2, - 1, 2, (1 + √33)/2}
solo di questi quattro valori si può dire "e ciò non é possibile".
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RISOLUZIONE
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A) Triplicare membro a membro.
* (1/3)*log(b, 9*x + 8 - x^3) = log(b, 2 - x) ≡
≡ log(b, 9*x + 8 - x^3) = 3*log(b, 2 - x)
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B) Proprietà "logaritmo di potenza".
* log(b, 9*x + 8 - x^3) = 3*log(b, 2 - x) ≡
≡ log(b, 9*x + 8 - x^3) = log(b, (2 - x)^3)
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C) Esponenziare membro a membro.
* log(b, 9*x + 8 - x^3) = log(b, (2 - x)^3) ≡
≡ b^log(b, 9*x + 8 - x^3) = b^log(b, (2 - x)^3) ≡
≡ 9*x + 8 - x^3 = (2 - x)^3
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D) Sottrarre membro a membro il secondo membro; ridurre a forma normale canonica monica.
* 9*x + 8 - x^3 = (2 - x)^3 ≡
≡ 9*x + 8 - x^3 - (2 - x)^3 = 0 ≡
≡ x^2 - (7/2)*x = 0
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E) Risolvere.
* x^2 - (7/2)*x = 0 ≡ (x = 0) oppure (x = 7/2)
NB: nessuna delle due radici è nell'insieme dei valori "e ciò non é possibile".
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F) VERIFICA sull'equazione originale.
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F1) (1/3)*log(b, 9*0 + 8 - 0^3) = log(b, 2 - 0) ≡
≡ (1/3)*log(b, 8) = log(b, 2) ≡
≡ (1/3)*log(b, 2^3) = log(b, 2) ≡
≡ vero
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F2) (1/3)*log(b, 9*7/2 + 8 - (7/2)^3) = log(b, 2 - 7/2) ≡
≡ (1/3)*log(b, - 27/8) = log(b, - 3/2) ≡
≡ (1/3)*log(b, - (3/2)^3) = log(b, - 3/2) ≡
≡ vero
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DETTAGLI
* (9*x + 8 - x^3)*(2 - x) = 0 ≡
≡ (x^2 - x - 8)*(x + 1)*(2 - x) = 0 ≡
≡ (x - (1 - √33)/2)*(x - (1 + √33)/2)*(x + 1)*(2 - x) = 0
