[Risolto] Equazione Goniometrica

Sappiamo che

$ sin\alpha = sin\beta \; \iff \; \alpha = \beta + 2k\pi \; \lor \ \alpha = \pi - \beta + 2k\pi; \qquad k \in \mathbb{Z} $

per maggior chiarezza tratteremo i due casi separatamente

1° Caso.

$ \begin{aligned} sin(x) = sin(2x-\frac{\pi}{2}) \; &⇒ \; x = 2x -\frac{\pi}{2} +2k\pi \\ &⇒ \; -x = -\frac{\pi}{2} +2k\pi \\ &⇒ \; x = \frac{\pi}{2} +2k\pi \end{aligned}$

2° Caso.

$ \begin{aligned} sin(x) = sin(2x-\frac{\pi}{2}) \; &⇒ \; x = \pi -2x +\frac{\pi}{2} +2k\pi \\ &⇒ \; 3x = \frac{3\pi}{2} +2k\pi \\ &⇒ \; x = \frac{\pi}{2} +\frac{2}{3}k\pi \end{aligned}$ 

nota: $2k\pi e -2k\pi; \qquad k \in \mathbb{Z} $ denotano lo stesso insieme, possiamo trascurare il segno meno davanti a $2k\pi$ 

nota: Le soluzioni del primo caso sono incluse in quelle del secondo, esempio per k = 3 il secondo ci da 2π che è la soluzione del primo caso con k = 1. Ragion per cui la soluzione generale è quella relativa al secondo caso.

Soluzione. $x = \frac{\pi}{2} +\frac{2}{3}k\pi;  \qquad k \in \mathbb{Z} $