[Risolto] Equazione Goniometrica

 

Spiegazioni

Osserviamo che cos (pi/2 + x) = cos pi/2 cos x - sin pi/2 sin x = - sin x

2 - sin x >= 0 => sin x <= 2 sempre verificata e  sin x >= 0

Quindi posto sin x = s

2/rad (2 - s) - rad (s) = rad (2 - s)       con s >= 0

2 - rad (s(2-s)) = 2 - s

rad (s(2-s)) = s

s >= 0

2s - s^2 = s^2

2s^2 - 2s = 0

2s (s - 1) = 0

s = 0 => sin x = 0 => x = k pi

s = 1 => sin x = 1 => x = pi/2 + 2 kpi

Al 2° membro non si capisce se il coseno è sotto o fuori il segno di radice.

Quindi devi risolvere:

2/√(2 - SIN(x)) - √(SIN(x)) = √(2 + COS(pi/2 + x))  ??

OK

COS(pi/2 + x) = - SIN(x)

Riscrivo:

2/√(2 - SIN(x)) - √(SIN(x)) = √(2 - SIN(x))

C.E.

{2 - SIN(x) > 0 (al denominatore e sotto radice di indice pari)

{SIN(x) ≥ 0 (per il secondo addendo al 1° mebro)

Quindi:

{true: sempre vero

{0 + 2·k·pi ≤ x ≤ pi + 2·k·pi

quindi: 2·k·pi ≤ x ≤ pi + 2·k·pi

(1° e 2° quadrante)

(2/√(2 - SIN(x)) - √(SIN(x)) = √(2 - SIN(x)))·√(2 - SIN(x))

2 - √(SIN(x))·√(2 - SIN(x)) = 2 - SIN(x)

√(SIN(x)·(2 - SIN(x))) = SIN(x)

√(2·SIN(x) - SIN(x)^2) = SIN(x)

SIN(x) = t

√(2·t - t^2) = t

risolvo: t = 1 ∨ t = 0

SIN(x) = 1-----> x = pi/2 + 2·k·pi

SIN(x) = 0------> x = k·pi