[Risolto] Equazione esponenziale

La base deve essere positiva se l'esponente é reale:

il caso in cui é 0 andrebbe considerato in generale ma qui non ci interessa

perché non può produrre soluzioni. Se la base é negativa l'esponente dovrebbe essere intero.

Per evitare di diversificare in diecimila rivoli le condizioni di esistenza decido che - risolta l'equazione -

le soluzioni trovate saranno verificate A MANO.

 

La riscrivo come    e^[(x+2) * ln (x^2 - x - 1) ] = e^0 

da cui (x+2) * ln (x^2 - x - 1) = 0

Attenzione ! Che x = -2 sia soluzione va controllato. Risulta  (-2)^2 + 2 - 1 = 5 =/= 0 

5^0 = 1 

e allora é accettabile ;

Le altre soluzioni sono quelle per cui   x^2 - x - 1 = 1

x^2 - x - 2 = 0

x^2 - 2x + x - 2 = 0

x(x-2) + (x-2) = 0

(x-2) (x+1) = 0

x = 2 V x = -1. 

 

Verifica diretta 

(4 - 2 - 1)^(2+2) = 1^4 = 1 =>   x = 2 é corretta 

((-1)^2 + 1 - 1)^(-1+2) = 1^1 = 1  => x = -1 é corretta

 

Verifica grafica 

https://www.desmos.com/calculator/9ddvwp2gr1

 

L'equazione "potenza = costante" in cui sia la base che l'esponente sono funzioni della stessa variabile non è né polinomiale né esponenziale (x^x è una "funzione torre") e pertanto non hanno soluzione simbolica in termini di operazioni elementari.
Nel caso in cui la costante sia uno, tuttavia, come in questo caso
* f(x) = (x^2 - x - 1)^(x + 2) = 1
l'equazione si risolve per ispezione (ed espedienti!) ragionando sulle proprietà della potenza uno.
---------------
1) Solo per ispezione (senza espedienti)
* f(0) = (0^2 - 0 - 1)^(0 + 2) = 1
---------------
2) Ogni base non zero elevata a zero
* (x^2 - x - 1 != 0) & (x + 2 = 0) ≡ x = - 2
---------------
3) La base uno elevata a checchessia
* x^2 - x - 1 = 1 ≡ x = - 1 oppure x = + 2
---------------
4) La base meno uno elevata a esponente pari
* (x^2 - x - 1 = - 1) & (x + 2 = 2*k) & (k in Z) ≡
≡ (k = 1) & (x = 0)
---------------
SOLUZIONE
* x in {- 2, - 1, 0, 2}

(x^2 - x - 1)^(x + 2) = 1

se la risolvi ottieni: x = -2 ∨ x = 2 ∨ x = -1

Metto sotto segno di logaritmo entrambi i due membri:

LN(x^2 - x - 1)^(x + 2) = LN(1)

procedo con le proprietà dei logaritmi:

(x + 2)·LN(x^2 - x - 1) = 0

Applico la lege dell'annullamento di un prodotto:

x + 2 = 0-------> x = -2

LN(x^2 - x - 1) = 0------> x^2 - x - 1 = 1----> x^2 - x - 2 = 0

(x + 1)·(x - 2) = 0-----> x = 2 ∨ x = -1

Verifico i tre risultati ottenuti:

x=-2-----> ((-2)^2 - (-2) - 1)^(-2 + 2) = 1----> 5^(-2 + 2) = 1 OK!

x=2-----> (2^2 - 2 - 1)^(2 + 2) = 1-----> 1^(2 + 2) = 1 OK!

x=-1------>((-1)^2 - -1 - 1)^(-1 + 2) = 1----> 1^(-1 + 2) = 1 OK!