Buona serata a tutti; qualcuno potrebbe aiutarmi a risolvere l'esercizio n. 205 che vado a postare? Ringrazio anticipatamente chi vorrà rispondermi.
How many different real numbers satisfy the equation below?
$(x^2 + 4x - 2)^2 = (5x^2 -1)^2 $
A = 0 ; B = 1 ; C = 2 ; D = 3 ; E = 4.
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Livello 1
Nel qual caso non si leggesse bene il testo dell'esercizio, lo scrivo qui : (x^2 + 4x - 2)^2 = (5x^2 -1)^2
A = 0 ; B = 1 ; C = 2 ; D = 3 ; E = 4.
Ancora grazie a tutti
Buongiorno.
Ho appena modificato il secondo post. Buon pomeriggio!
Il numero richiesto è quello di radici reali distinte ("different") dell'equazione data, di quarto grado con coefficienti interi, quindi con un numero pari di radici reali: zero, due, quattro.
L'eguaglianza di due quadrati equivale all'azzeramento della loro differenza e ciò, applicando il prodotto notevole somma per differenza e la legge d'annullamento del prodotto, conduce a due equazioni di secondo grado indipendenti.
* (x^2 + 4*x - 2)^2 = (5*x^2 - 1)^2 ≡
≡ (x^2 + 4*x - 2)^2 - (5*x^2 - 1)^2 = 0 ≡
≡ (x^2 + 4*x - 2 + (5*x^2 - 1))*(x^2 + 4*x - 2 - (5*x^2 - 1)) = 0 ≡
≡ (6*x^2 + 4*x - 3)*(- 4*x^2 + 4*x - 1) = 0 ≡
≡ (6*x^2 + 4*x - 3 = 0) oppure (- 4*x^2 + 4*x - 1 = 0) ≡
≡ (x^2 + (2/3)*x - 1/2 = 0) oppure (x^2 - x + 1/4 = 0) ≡
≡ (x^2 + (2/3)*x - 1/2 = 0) oppure (x^2 - x + 1/4 = 0) ≡
≡ ((x + (2 - √22)/6)*(x + (2 + √22)/6) = 0) oppure ((x - 1/2)^2 = 0) ≡
(x = - (2 - √22)/6) oppure (x = - (2 + √22)/6) oppure (x = 1/2) oppure (x = 1/2)
CONCLUSIONI
L'equazione ha quattro radici reali, due semplici e una doppia: quindi la risposta corretta è l'opzione D trattandosi di solo tre valori distinti.
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Genius I
Ciao ti ringrazio per avermi aiutato anche questa volta. Buon weekend
R: D
sono 3 i numeri reali diversi che soddisfano l'equazione data.
(x^2 + 4·x - 2)^2 = (5·x^2 - 1)^2
x^4 + 8·x^3 + 12·x^2 - 16·x + 4 - (25·x^4 - 10·x^2 + 1) = 0
- 24·x^4 + 8·x^3 + 22·x^2 - 16·x + 3 = 0
24·x^4 - 8·x^3 - 22·x^2 + 16·x - 3 = 0
(2·x - 1)^2·(6·x^2 + 4·x - 3) = 0
Risolta fornisce:
x = - √22/6 - 1/3 ∨ x = √22/6 - 1/3 ∨ x = 1/2
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Genius II
Altrimenti differenza di quadrati che si deve annullare. Applichi la scomposizione di fattori. Ottieni come fattori il quadrato di un binomio ed un trinomio di secondo grado con discriminante positivo.
(x^2 + 4·x - 2)^2 = (5·x^2 - 1)^2
(x^2 + 4·x - 2)^2 - (5·x^2 - 1)^2 = 0
((x^2 + 4·x - 2) + (5·x^2 - 1))·((x^2 + 4·x - 2) - (5·x^2 - 1)) = 0
(6·x^2 + 4·x - 3)·(- 4·x^2 + 4·x - 1) = 0
6·x^2 + 4·x - 3 = 0
2 radici distinte: x = - √22/6 - 1/3 ∨ x = √22/6 - 1/3
- 4·x^2 + 4·x - 1 = 0
(- 4·x^2 + 4·x - 1 = 0)·(-1)
4·x^2 - 4·x + 1 = 0
(2·x - 1)^2 = 0
x = 1/2
Quindi 3 radici.
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Genius II
Ciao grazie per la risposta; ti auguro un buon weekend
Scusami se disturbo ancora; non riesco a comprendere come hai scomposto in fattori il polinomio 24*x^4 - 8*x^3 - 22*x^2 + 16* x - 3 = 0. Ci sto provando da un parecchio tempo cercando di applicare la Regola di Ruffini, ma non giungo a nessuna conclusione. Se e quando puoi, mi potresti aiutare a capire cosa fare? Grazie e ancora buona giornata.
Ancora mille grazie, sei gentilissimo; ora ho capito perfettamente l'esercizio. Buon pomeriggio anche a te.
Buona giornata.
La puoi scindere in x^2 + 4x -2 = 5x^2 - 1
e x^2 + 4x - 2 = -5x^2 + 1
studiarle separatamente e prendere l'unione delle soluzioni
1) 4x^2 - 4x + 1 = 0
(2x - 1)^2 = 0
x = 1/2
2) 6x^2 + 4x - 3 = 0
Qui a e c sono discordi, quindi le soluzioni sono reali e distinte.
Basterà verificare che x = 1/2 non é soluzione e potrai già concludere
che i numeri reali richiesti sono 1 + 2 = 3
6/4 + 2 - 3 non é intero e quindi non é 0.
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Livello 7
Ciao ti ringrazio per la risposta ; tutto chiaro eccetto l'ultima parte : 6/4 + 2 -3 non è intero e quindi non è 0. Da dove hai ricavato quei numeri? Cosa significa che non è intero? Se puoi chiarire questo punto, mi faresti un favore. Ancora grazie e buon weekend.
E' semplice : se metto x = 1/2 nell'equazione 2 trovo
6*(1/2)^2 + 4 * 1/2 - 3 = 6/4 + 2 - 3 = 3/2 - 1 = 1/2
allora 1/2 non é soluzione della 2) e le radici di quest'ultima,
sicuramente esistenti, sono distinte da quelle della 1).
Ciao grazie ora è tutto chiaro. Ti auguro nuovamente un sereno weekend
