Equazione di Bernoulli

La pressione si trasmette in tutto il fluido per il principio di Pascal. Per la dimostrazione bisogna considerare le forze agenti sul condotto alle estremità perché la risultante delle forze fa muovere il fluido e compie lavoro sul fluido.

P1  spinge da sinistra, P2 spinge da destra.

Se P1 > P2 il fluido si muove.

F1 = P1 * A1;     F2 = P2 * A2;

F1 – F2 = F risultante che fa muovere il fluido lungo il condotto.

x1 = v1 * t; x2 = v2 * t; (spostamenti del fluido).

Volume di fluido = A1  * v1 * t = A2 * v2 * t; poniamo t = 1 secondo.

A * v = costante, è la portata. ( Q = Area * velocità in m^3/s).

Lavoro = F ris * Spostamento = (P1 – P2) * (A * v) ;

Lavoro = (P1 – P2) * Volume, lavoro per spostare il fluido.

(P1 – P2) * Volume = 1/2 m (v2^2 – v1^2 ) + m g (h2 – h1);

m = d*Volume;

(P1 – P2) * Volume =

= 1/2  (d*Volume) (v2^2 – v1^2 ) + (d*Volume) g (h2 – h1);

Semplifichiamo il Volume, rimane:

P1 – P2 = 1/2 d (v2^2 – v1^2 ) + d g (h2 – h1);

Spostiamo i termini con indice 1 a sinistra:

P1 +  1/2 d v1^2 + d g h1 = P2 + 1/2 d v2^2 + d g h2. (Teorema).

Ciao @marco98

In effetti, le forze di pressione variano lungo il condotto, ma la originalità del modello a volumetto è che ci permette di evitare integrali complessi. Ecco perché:

Lavoro delle forze di pressione, non la risultante:
Nel teorema di Bernoulli non calcoliamo la "risultante" delle forze [ F(2) - F(1)] per accelerare il fluido, ma il lavoro compiuto dalle pressioni per spostare il volumetto.
- Le forze F(1) = p(1) A e F(2) = p(2) A compiono lavoro alle estremità:
- L(1) = F(1)Δx(1) = p(1)A Δx(1) = p(1) V (lavoro positivo, fluido spinto in avanti).
- L(2) = - F(2)Δx(2) = - p(2)A Δx(2) = -p(2) V (lavoro negativo, fluido frenato a valle).
- Il lavoro totale è [p(1) - p(2)]V, e compare direttamente nel bilancio energetico.

Perché non serve l’integrale?
- Il volumetto è così piccolo che la pressione p e la velocità v sono uniformi al suo interno (ipotesi di fluido continuo).
- Le variazioni di pressione lungo Δx sono infinitesime (del secondo ordine, Δp approssimativamente vale dp) e vengono trascurate rispetto al salto [p(1) - p(2)].
- Se integrassi, otterresti comunque: segno di integrale fra x(1) e x(2) di Adp = A[p(2) - p(1)], che è equivalente alla differenza [ F(2) - F(1)].

Analogia con una molla (per fissare l’idea):
Immagina di comprimere una molla con una forza F(1) da un lato e F(2) dall’altro. Il lavoro totale per spostarla è [F(1) - F(2)]Δx, anche se la forza varia lungo la molla. Non serve integrare ogni piccolo contributo!

Dove "spariscono" le pressioni laterali?
- Le pressioni sulle pareti del condotto compiono lavoro perpendicolare alla velocità, quindi non contribuiscono al bilancio energetico lungo la direzione del moto (il loro lavoro è nullo).

Conclusione:
Hai ragione nel dire che la pressione varia ovunque, ma Bernoulli sfrutta un "trucco": isolando un volumetto, possiamo trattare le sole variazioni alle estremità come rappresentative dell’intero sistema. È un’approssimazione efficace perché i contributi intermedi si cancellano o sono trascurabili.

Nella dimostrazione del teorema di Bernoulli, le forze di pressione sono considerate solo alle estremità del volumetto di fluido perché stiamo applicando un bilancio di forze localizzato su quel particolare elemento infinitesimale (un "tubo di flusso" di lunghezza Δx e sezione A).

Modello a volumetto:
Si isola mentalmente un piccolo elemento di fluido (un "cilindretto" o "dischetto" lungo il condotto). Le forze di pressione agiscono sulle sue facce frontali (a monte e a valle), perché è lì che il fluido circostante esercita una pressione diretta.

La pressione p(1) agisce sulla faccia sinistra (forza F(1)=p(1)A, verso destra).

La pressione p(2) agisce sulla faccia destra (forza F(2)=p(2)A, verso sinistra).

Pressione laterale:
Le pareti laterali del condotto non contribuiscono alla forza lungo la direzione del flusso perché:

Se il condotto è orizzontale e rettilineo, le forze di pressione sui lati si bilanciano simmetricamente (non c'è accelerazione trasversale).

Nella derivazione standard, si assume che la pressione laterale non varia apprezzabilmente nella sezione trasversale (flusso laminare e condotto rigido).

Approccio differenziale:
Bernoulli deriva da un bilancio energetico lungo una linea di flusso, non su tutto il condotto. Le variazioni di pressione sono valutate tra due punti vicini (Δx → 0), quindi si trascura l'effetto della pressione sulle pareti laterali, che è ortogonale alla direzione del moto.

Analogia meccanica:
È come spingere un blocco applicando forze solo alle estremità: le pareti del condotto (come un tavolo senza attrito) non forniscono resistenza lungo la direzione del moto.

Esempio pratico:
Immagina di soffiare in una cannuccia: l'aria esce perché c'è una differenza di pressione tra i due estremi, non perché la pressione agisce "lungo tutta" la cannuccia.

In condotti non ideali (con attrito o curvatura), le forze viscose o centrifughe rendono il problema più complesso, ma Bernoulli assume un fluido ideale senza dissipazioni.