equazione della retta

@walte

 

L'equazione della generica retta perpendicolare alla retta data (y=1/3 * x)  ha equazione y= - 3x + q (prodotto dei coefficienti angolari = - 1)

Quindi la retta tangente alla parabola avrà equazione y= - 3x + q

Possiamo determinare il valore di q mettendo a sistema le due equazioni ed imponendo la condizione di tangenza D=0

Quindi 

{y = - 3x + q

{y = 3x² - 4x

Sostituendo la prima equazione nella seconda otteniamo 

3x² - x - q=0

 

Imponendo la condizione di tangenza si ottiene:

D=0  <==> 1+12q=0 - - >  q= - 1/12

 

La retta tangente ha equazione 

y= - 3x - 1/12

Possiamo calcolare l'ascissa del punto di intersezione determinando la soluzione dell'equazione 

3x² - x + 1/12 = 0

Da cui si ricava

x= 1/6

y= - 7/12

Il fascio t(q) delle rette ortogonali alla
* x - 3*y = 0 ≡ y = x/3
di pendenza m = 1/3, dovendo avere la pendenza antinversa m' = - 1/m = - 3, è
* t(q) ≡ y = q - 3*x
e il sistema con la parabola
* Γ ≡ y = 3*x^2 - 4*x
cioè
* (y = q - 3*x) & (y = 3*x^2 - 4*x)
ha risolvente
* y = 3*x^2 - 4*x - (q - 3*x) = 0
con discriminante
* Δ(q) = 12*q + 1
che, per la tangenza, dev'essere zero.
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Pertanto la retta richiesta è
* t(- 1/12) ≡ y = - 1/12 - 3*x
e il punto T di tangenza è
* (y = - 1/12 - 3*x) & (y = 3*x^2 - 4*x) ≡ T(1/6, - 7/12)
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VERIFICA al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5B%28x%2F3-y%29*%28-1%2F12-3*x-y%29%3D0%2Cy%3D3*x%5E2-4*x%5D