Equazione con valore assoluto

Ciao di nuovo.

Il valore assoluto si può liberare in due modi:

ABS((x - 1)/(x + 2)) = (x - 1)/(x + 2)

se (x - 1)/(x + 2) ≥ 0 ossia se: x < -2 ∨ x ≥ 1

oppure:

ABS((x - 1)/(x + 2)) = (1 - x)/(x + 2)

se (x - 1)/(x + 2) < 0 ossia se: -2 < x < 1

Questo comporta risolvere due sistemi che rappresentano tali possibilità:

1° sistema:

{(x - 1)/(x + 2) = 3 + x

{x < -2 ∨ x ≥ 1

----------------------------

2° sistema:

{(1 - x)/(x + 2) = 3 + x

{-2 < x < 1

------------------------------------

Una volta risolti, se ammettono soluzioni devi unire tali soluzioni!

Riportiamo quindi alla forma intera le equazioni fratte:

x + 2 ≠ 0------> x ≠ -2

1° sistema:

{x - 1 = (3 + x)·(x + 2)

{x < -2 ∨ x ≥ 1

----------------

{x - 1 = x^2 + 5·x + 6

{x < -2 ∨ x ≥ 1

------------------

L'equazione : x^2 + 4·x + 7 = 0   

ha discriminante:  Δ/4 = 2^2 - 7------> Δ/4 = -3 <0

Quindi impossibile (nell'ambito dei numeri reali)

Passiamo al 

2° sistema:

{1 - x = x^2 + 5·x + 6

{-2 < x < 1

------------

L'equazione: x^2 + 6·x + 5 = 0 ha per soluzione: x = -5 ∨ x = -1

di cui solo la seconda è accettabile sotto le condizioni poste.

Quindi la soluzione dell'equazione assegnata:

ABS((x - 1)/(x + 2)) = 3 + x è  x = -1

La regoletta da rammentare è
* |a| = b ≡ (a = ± b) ≡ (a = - b) oppure (a = + b)
che si applica a questo caso insieme alla condizione che la frazione sia definita
* (x != - 2) & (((x - 1)/(x + 2) = - (3 + x)) oppure ((x - 1)/(x + 2) = + 3 + x)) ≡
≡ (x != - 2) & ((x - 1)/(x + 2) = - (3 + x)) oppure (x != - 2) & ((x - 1)/(x + 2) = + 3 + x) ≡
≡ (x = - 5) oppure (x = - 1) oppure (insieme vuoto) ≡
≡ (x = - 5) oppure (x = - 1)
VERIFICHE
* |(- 5 - 1)/(- 5 + 2)| = 3 - 5 ≡ 2 = - 2 ≡ FALSO
* |(- 1 - 1)/(- 1 + 2)| = 3 - 1 ≡ 2 = 2 ≡ VERO
CONCLUSIONE
* |(x - 1)/(x + 2)| = 3 + x ≡ x = - 1
CONTROPROVA
http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+%7C%28x-1%29%2F%28x%2B2%29%7C%3D3%2Bx+for+x+real