equazione con coefficienti binomiali

Buongiorno, spero che lo svolgimento dell'esercizio sia chiaro e utile.

C(x,2) = x*(x-1)/2 perché

x!/(2!(x-2)!) = (x-2)!*(x-1)*x/(2*(x-2)!) = x(x-1)/2

Tenuto conto di questo

l'equazione diventa

2n(2n-1)/2 - n(n-1)/2 = n^2 + 15

con n >= 2

4n^2 - 2n - n^2 + n = 2n^2 + 30

3n^2 - n = 2n^2 + 30

n^2 - n - 30 = 0

n^2 - 6n + 5n - 30 = 0

n(n - 6) + 5(n - 6) = 0

(n + 5)(n - 6) = 0

n non può essere -5

e allora n = 6

Il numero di combinazioni di classe k fra n oggetti è
* C(n, k) = n!/(k! * (n - k)!)
che, coi valori del caso, fa
* C(2*n, 2) = (2*n)!/(2! * (2*n - 2)!) = n*(2*n - 1)
* C(n, 2) = n!/(2! * (n - 2)!) = (n - 1)*n/2
da cui
* C(2*n, 2) - C(n, 2) = n*(3*n - 1)/2
quindi
* C(2*n, 2) - C(n, 2) = n^2 + 15 ≡
≡ n*(3*n - 1)/2 = n^2 + 15 ≡
≡ n*(3*n - 1)/2 - (n^2 + 15) = 0 ≡
≡ (n + 5)*(n - 6)/2 = 0 ≡
≡ (n = - 5) oppure (n = 6)
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Verifica (con altri mezzi)
http://www.wolframalpha.com/input?i=C%282*n%2C2%29-C%28n%2C+2%29-n%5E2-15+where+n%3D-5
http://www.wolframalpha.com/input?i=C%282*n%2C2%29-C%28n%2C+2%29-n%5E2-15+where+n%3D6