[Risolto] Energia potenziale Sfera isolante

La densità di energia elettrica è:

$u_e = \frac{1}{2} \epsilon_0 E^2$

Se consideriamo dunque l'energia accumulata in un guscio sferico di spessore infinitesimo e raggio $r$, abbiamo:

$ dU = u_e * 4\pi r^2 dr = \frac{1}{2k} E^2(r) dr$

Dovendo caricare tutta la sfera isolante e lo spazio circostante, dobbiamo integrare l'energia per r da 0 a infinito.

Ricordiamo però che il campo elettrico vale:

$ E(r) = \frac{kQr}{R^3}$ per $r<R$ 

e 

$ E(r) = \frac{kQ}{r^2}$ per $r>R$

Quindi abbiamo:

$  U = \frac{1}{2k} \int_0^{+\infty} r^2 E^2(r) dr$

$  U = \frac{1}{2k} \bigg[\int_0^{R} r^2 \bigg(\frac{kQr}{R^3}\bigg)^2 dr + \int_R^{+\infty} r^2 \bigg(\frac{kQ}{r^2}\bigg)^2 dr\bigg]$

da cui

$ U = \frac{1}{2k} \bigg[\frac{k^2Q^2}{R^6}\int_0^{R} r^4 dr + k^2Q^2\int_R^{+\infty} \frac{1}{r^2}dr\bigg]$

Risolvendo gli integrali:

$U = \frac{1}{2k} \bigg[\frac{k^2Q^2}{R^6}\frac{R^5}{5} + \frac{k^2Q^2}{R}\bigg]$

e facendo un poco di semplificazioni otteniamo:

$U = \frac{3}{5}\frac{kQ^2}{R}$

Dunque sostituendo i dati in nostro possesso:

$U = \frac{3}{5}\frac{8.9 \times 10^9 N/C^2 m^2 \cdot (1\times10^{-3} C)^2}{1 m} = 5340 J$

Noemi