Non conviene affatto svolgere il b e generalizzarlo in c; è assai più economico svolgere il c e particolarizzarlo in b.
Ma, per poterlo fare, aver svolto a è indispensabile.
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a) Ogni ellisse con
* centro nell'origine
* fuochi sull'asse x
* semiassi a > b > 0
* semidistanza focale c = √(a^2 - b^2)
* eccentricità e = c/a = √(1 - (b/a)^2)
ha equazione
* Γ ≡ (x/a)^2 + (y/b)^2 = 1
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La condizione "un vertice in (5, 0)" vuol dire a = 5.
La condizione "eccentricità √3/2" vuol dire √(1 - (b/a)^2) = √3/2.
Quindi
* (a = 5) & (√(1 - (b/a)^2) = √3/2) & (a > b > 0) ≡ (a = 5) & (b = 5/2)
* Γ ≡ (x/5)^2 + (y/(5/2))^2 = 1
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c) Sono dati
* (a > 0) & (q > b > 0)
* Γ ≡ (x/a)^2 + (y/b)^2 = 1
* t(q) ≡ y = q - x
e si cerca il valore di q affinché t sia tangente Γ.
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Il sistema
* t(q) & Γ & condizioni ≡ (y = q - x) & ((x/a)^2 + (y/b)^2 = 1) & (a > 0) & (q > b > 0)
ha risolvente
* (x/a)^2 + ((q - x)/b)^2 - 1 = 0 ≡
≡ (a^2 + b^2)*x^2 - 2*(q*a^2)*x + (q^2 - b^2)*a^2 = 0
con discriminante che, per la tangenza, dev'essere zero
* Δ(q) = 4*(a^2 + b^2 - q^2)*(a*b)^2
quindi
* (a^2 + b^2 - q^2 = 0) & (a > 0) & (q > b > 0) ≡ q = √(a^2 + b^2)
da cui la tangente nel primo quadrante e il suo punto di tangenza
* t ≡ y = √(a^2 + b^2) - x
* (y = √(a^2 + b^2) - x) & ((x/a)^2 + (y/b)^2 = 1) & (a > 0) & (b > 0) ≡
≡ T(a^2/√(a^2 + b^2), √(a^2 + b^2) - a^2/√(a^2 + b^2))
infine l'area S del rettangolo indicato, il quadruplo del prodotto fra le coordinate di T,
* S(a, b) = 4*(a^2/√(a^2 + b^2))*(√(a^2 + b^2) - a^2/√(a^2 + b^2)) =
= (2*a*b)^2/(a^2 + b^2)
QED
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b) Da
* S(a, b) = (2*a*b)^2/(a^2 + b^2)
per
* (a = 5) & (b = 5/2)
si ha
* S(5, 5/2) = (2*5*5/2)^2/(5^2 + (5/2)^2) = 20
