[Risolto] ELLISSE E LA RETTA.

• Coordinate dei punti A, B. 

In accordo a quanto specificato si determina A(2,0), B(1,0)

• Ho disegnato il segmento $\overline{AB}$. Segmento che giace sulla retta x+3y=2. Passaggio non necessario per la soluzione ma solo come riferimento grafico.
• Asse segmento $\overline{AB}$.

dalla definizione di asse di un segmento segue che

$(x-A_x)^2 + (y-A_y)^2 = (x-B_x)^2 + (y-B_y)^2$

$(x-2)^2 + y^2 = x^2 + (y-1)^2$

$ 4x-2y-3 = 0$

• Per determinare i punti P, Q di intersezione asse, ellisse occorre risolvere il sistema

$\left\{\begin{aligned} x^2 +4y^2 &= 4 \\ 4x-3y &= 3 \end{aligned}\right.$

Per sostituzione della seconda nella prima ricaviamo

$ x = \frac {12 ± \sqrt{59}}{17}$

a cui corrispondono i punti

$ P (\frac {12 - \sqrt{59}}{17}, \frac {-3 - 4\sqrt{59}}{34})$ 

$ Q (\frac {12 + \sqrt{59}}{17}, \frac {-3 + 4\sqrt{59}}{34})$

x^2/4 + y^2 = 1

da mettere a sistema con l'asse del segmento di estremi:

[2, 0] e [0, 1]

(x - 2)^2 + y^2 = x^2 + (y - 1)^2

x^2 - 4·x + y^2 + 4 = x^2 + (y^2 - 2·y + 1)

y = 2·x - 3/2

Quindi:

{x^2/4 + y^2 = 1

{y = 2·x - 3/2

Risolvo per sostituzione

x^2/4 + (2·x - 3/2)^2 - 1 = 0

17·x^2/4 - 6·x + 5/4 = 0

x = - (√59 - 12)/17 ∨ x = (√59 + 12)/17

x = - (√59 - 12)/17:

y = 2·(- (√59 - 12)/17) - 3/2

y = - (4·√59 + 3)/34

x = (√59 + 12)/17:

y = 2·((√59 + 12)/17) - 3/2

y = (4·√59 - 3)/34

Quindi due vertici C:

x = (√59 + 12)/17 ∧ y = (4·√59 - 3)/34

x = - (√59 - 12)/17 ∧ y = - (4·√59 + 3)/34