[Risolto] Ellisse condizioni

Per l'ellisse
* γ ≡ (x/a)^2 + (y/b)^2 = 1
la specificazione "con i fuochi F1 e F2 sull'asse x" significa
* 0 < b < a
* 0 < c = √(a^2 - b^2) < a
* 0 < e = c/a = √(1 - (b/a)^2) < 1
* F1 = (- √(a^2 - b^2), 0)
* F2 = (+ √(a^2 - b^2), 0)
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Il quadrilatero AF1BF2 può essere rettangolo se e solo se A e B sono sulla circonferenza
* Γ ≡ x^2 + y^2 = c^2
in modo che da essi si veda la distanza interfocale sotto un angolo retto, cioè se e solo se Γ è tangente γ internamente ed A e B sono due dei quattro punti di tangenza.
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Essendo la tesi espressa in 'e' conviene esprimere in 'e' anche
* c^2 = (a*e)^2
* b = a*√(1 - e^2)
e riscrivere
* γ ≡ (x/a)^2 + (y/(a*√(1 - e^2)))^2 = 1 ≡ x^2 - y^2/(e^2 - 1) = a^2
* Γ ≡ x^2 + y^2 = (a*e)^2
quindi, calcolando le intersezioni reali, si ha
* (x^2 - y^2/(e^2 - 1) = a^2) & (x^2 + y^2 = (a*e)^2) & (0 < e < 1) & (a > 0) ≡
≡ (x = ± (a/e)*√(2*e^2 - 1)) & (y = ± (a/e)*(1 - e^2)) & (1/√2 <= e < 1)
QED
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CONCLUSIONE
Anche senza pretendere che Γ sia tangente γ, la tesi è dimostrata semplicemente imponendo che non le sia interna cioè che le loro intersezioni siano reali.