ELLISSE

L'ellisse è centrata all'origine O(0;0) ed è simmetrica rispetto ad essa. Poniamo f(x)=√(36-4x²)/9 (inversa dell'eq. dell'ellisse)

• Prendiamo in considerazione solo un quadrante e chiamiamo PH ( P(k; f(k)) ; H(k;0) ) il lato parallelo all'asse y e OH il lato parallelo all'asse x
• Sappiamo che PH=2OH dunque √((k-k)²+(f(k)²)=2√((0-k)²+(0-0)) dunque |f(k)|=2|k|
• |√(36-4k²)|=18|k|

Lascio a lei i calcoli, una volta trovato k basta procedere simmetrizzando i punti.

I vertici di ogni rettangolo inscritto nell'ellisse
* Γe ≡ x^2/9 + y^2/4 = 1
sono le sue intersezioni con una delle iperboli degeneri del fascio
* Γ(m) ≡ y^2 = (m*x)^2, con m != 0
cioè
* (x^2/9 + y^2/4 = 1) & (y^2 = (m*x)^2) & (m != 0) ≡
≡ A(- 6/√(9*m^2 + 4), - 6*m/√(9*m^2 + 4))
oppure B(6/√(9*m^2 + 4), - 6*m/√(9*m^2 + 4))
oppure C(6/√(9*m^2 + 4), 6*m/√(9*m^2 + 4))
oppure D(- 6/√(9*m^2 + 4), 6*m/√(9*m^2 + 4))
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Il lato parallelo all'asse y è
* |BC| = |DA| = h = 12*√(m^2/(9 m^2 + 4))
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Il lato parallelo all'asse x è
* |AB| = |CD| = b = 12/√(9 m^2 + 4)
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"il lato parallelo all'asse y doppio di quello parallelo all'asse x"
* h = 2*b ≡
≡ 12*√(m^2/(9 m^2 + 4)) = 2*12/√(9 m^2 + 4) ≡
≡ m = ± 2
da cui
* A(- 3/√10, - 3*√10/5), B(3/√10, - 3*√10/5)C(3/√10, 3*√10/5), D(- 3/√10, 3*√10/5)